พิสูจน์ว่าเส้นโค้ง x = y ^ 2 และ xy = k ตัดที่มุมฉากถ้า 8k ^ 2 = 1?

ตอบ:

#-1#

คำอธิบาย:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

เส้นโค้งทั้งสองคือ

#x = y ^ 2 #

และ

#x = sqrt (1/8) / y หรือ x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

สำหรับเส้นโค้ง #x = y ^ 2 #อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ # Y # คือ # 2y #.

สำหรับเส้นโค้ง #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ # Y # คือ # -sqrt (1/8) Y ^ -2 #.

จุดที่ทั้งสองโค้งพบกันคือเมื่อ # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

ตั้งแต่ #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

จุดที่เส้นโค้งพบคือ # (1/2, sqrt (1/2)) #

เมื่อ #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

ความชันของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง #x = y ^ 2 # คือ # 2sqrt (1/2) หรือ 2 / (sqrt2) #.

เมื่อ #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

ความชันของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง #xy = sqrt (1/8) # คือ # -2sqrt (1/8) หรือ -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

เราแสวงหาเงื่อนไขของ # k # เช่นนั้นเส้นโค้ง # x y = ^ 2 # และ # XY = k # "ตัดมุมฉาก" ในทางคณิตศาสตร์หมายความว่าเส้นโค้งควรเป็นมุมฉากซึ่งหมายความว่าในทุกจุดสัมผัสของเส้นโค้งที่ ใด จุดที่กำหนดคือตั้งฉาก

ถ้าเราตรวจสอบครอบครัวของเส้นโค้งสำหรับค่าต่าง ๆ ของ # k # เราได้รับ:

เราสังเกตได้ทันทีว่าเรากำลังมองหาจุดเดียวที่แทนเจนต์ตั้งฉากดังนั้นโดยทั่วไปแล้วเส้นโค้งนั้นไม่ใช่มุมฉากในทุกจุด

ก่อนอื่นให้เราค้นหา เดียว ประสานงาน # P #ของจุดตัดซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาพร้อมกันของ:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

เราจะได้ค่า Eq A เป็น B

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

ดังนั้นเราจึงสร้างจุดร่วมทางแยก:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

นอกจากนี้เรายังต้องการการไล่ระดับสีของแทนเจนต์ในพิกัดนี้ด้วย สำหรับเส้นโค้งแรก:

# y ^ 2 = x => 2 ปี dy / dx = 1 #

ดังนั้นความชันของแทนเจนต์ # m_1 #ถึงเส้นโค้งแรกที่ # P # คือ:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

ในทำนองเดียวกันสำหรับเส้นโค้งที่สอง:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

ดังนั้นความชันของแทนเจนต์ # m_2 #ไปยังโค้งที่สองที่ # P # คือ:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

หากแทนเจนต์ทั้งสองนี้ตั้งฉากแล้วเราต้องการสิ่งนั้น:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ได้รับ:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

และด้วยคุณค่าของ # k #