คุณจะพบการแสดงชุดพลังงานสำหรับ (arctan (x)) / (x) และรัศมีของการบรรจบกันคืออะไร?

ตอบ:

รวมชุดกำลังของอนุพันธ์ของ #arctan (x) # แล้วหารด้วย # x #.

คำอธิบาย:

เรารู้ว่าการแสดงชุดกำลังของ # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # ดังนั้น #absx <1 #. ดังนั้น # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

ดังนั้นซีรีย์พาวเวอร์ของ #arctan (x) # คือ #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

คุณหารด้วย # x #คุณพบว่าชุดพาวเวอร์ของ #arctan (x) / x # คือ #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. สมมติว่า #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

เพื่อที่จะหารัศมีของการลู่เข้าของซีรีย์พาวเวอร์นี้เราประเมิน #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. ดังนั้นถ้าเราต้องการให้เพาเวอร์ซีรีส์มาบรรจบกันเราต้องการ #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #ดังนั้นซีรีส์จะมาบรรจบกันถ้า #absx <1 #ซึ่งไม่น่าแปลกใจเพราะมันเป็นรัศมีของการบรรจบกันของชุดพลังงานที่เป็นตัวแทนของ #arctan (x) #.