คุณจะรวม int sec ^ -1x โดยการรวมโดยวิธีส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

คำตอบคือ # x = "อาร์" secx-LN (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

คำอธิบาย:

พวกเราต้องการ

# (วินาที ^ -1x) '= ("อาร์" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# intsecxdx = LN (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

บูรณาการโดยชิ้นส่วนคือ

# intu'v = UV-intuv '#

ที่นี่เรามี

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# v = "อาร์" secx #, #=>#, # v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

ดังนั้น, #int "อาร์" secxdx x = "อาร์" secx-int (DX) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

ดำเนินการอินทิกรัลที่สองด้วยการแทนที่

ปล่อย # x = secu #, #=>#, # DX = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (วินาที ^ 2u-1) = tanu #

# intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = int (secu (secu + tanu) ดู่) / (secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

ปล่อย # v = secu + tanu #, #=>#, # DV = (วินาที ^ 2u + secutanu) du #

ดังนั้น, # intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (DV) / (V) = lnv #

# = LN (secu + tanu) #

# = LN (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

สุดท้าย

#int "อาร์" secxdx x = "อาร์" secx-LN (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

ตอบ:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

คำอธิบาย:

อีกวิธีหนึ่งเราสามารถใช้สูตรที่รู้จักกันน้อยในการหาอินทิกรัลของฟังก์ชันอินเวอร์ส สูตรระบุ:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

ที่ไหน # ฉ ^ -1 (x) # เป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม # f (x) # และ #F (x) # คือการต่อต้านอนุพันธ์ของ # f (x) #.

ในกรณีของเราเราจะได้รับ:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (วินาที ^ -1 (x)) + C #

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือต่อต้านอนุพันธ์ # F #ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญของเซแคนต์ที่คุ้นเคย:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

การเสียบกลับเข้าไปในสูตรจะให้คำตอบสุดท้ายของเรา:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | วินาที (วินาที ^ -1 (x)) + tan (วินาที ^ -1 (x)) | + C #

เราจำเป็นต้องระมัดระวังเกี่ยวกับการทำให้ง่ายขึ้น #tan (วินาที ^ -1 (x)) # ไปยัง #sqrt (x ^ 2-1) # เพราะตัวตนจะใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ # x # เป็นบวก อย่างไรก็ตามเราโชคดีเพราะเราสามารถแก้ไขได้โดยการใส่ค่าสัมบูรณ์ในเทอมอื่นภายในลอการิทึม สิ่งนี้ยังลบความต้องการค่าสัมบูรณ์แรกเนื่องจากทุกอย่างภายในลอการิทึมจะเป็นค่าบวกเสมอ:

# xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #