แก้สมการเชิงอนุพันธ์: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? พูดคุยเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์แบบนี้คืออะไรและเมื่อใดจึงจะเกิดขึ้น

ตอบ:

#y = (ขวาน + B) e ^ (4x) #

คำอธิบาย:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

เขียนดีที่สุดเป็น

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad triangle #

ซึ่งแสดงให้เห็นว่านี่คือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับเอกพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง

มันมีสมการลักษณะเฉพาะ

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

ซึ่งสามารถแก้ไขได้ดังนี้

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

นี่เป็นรูทซ้ำดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปจึงอยู่ในรูป

#y = (ขวาน + B) e ^ (4x) #

นี่ไม่ใช่การสั่นและจำลองพฤติกรรมแบบเลขชี้กำลังบางอย่างที่ขึ้นอยู่กับค่าของ A และ B อย่างใดอย่างหนึ่งอาจเดาได้ว่ามันอาจเป็นความพยายามในการสร้างแบบจำลองประชากรหรือการมีปฏิสัมพันธ์ของผู้ล่า / เหยื่อ

มันแสดงถึงความไร้เสถียรภาพและนั่นคือทั้งหมดที่ฉันสามารถพูดเกี่ยวกับมันได้

ตอบ:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

คำอธิบาย:

สมการเชิงอนุพันธ์

# (d ^ 2y) / (DX ^ 2) -8 (DY) / (DX) + 16y = 0 #

เป็นสมการสัมประสิทธิ์คงที่เป็นเส้นตรง

สำหรับสมการเหล่านั้นทางออกทั่วไปมีโครงสร้าง

#y = e ^ {lambda x} #

เรามีหน้าที่ทดแทน

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

ที่นี่ # e ^ {lambda x} ne 0 # ดังนั้นการแก้ปัญหาจะต้องเชื่อฟัง

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

การแก้ปัญหาที่เราได้รับ

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

เมื่อรากซ้ำ # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # ยังเป็นทางออก ในกรณีที่ # n # รากซ้ำเราจะมีวิธีแก้ปัญหา:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # สำหรับ # i = 1,2, cdots, n #

ดังนั้นเพื่อรักษาจำนวนของเงื่อนไขเริ่มต้นเรารวมพวกเขาเป็นโซลูชั่นอิสระ

ในกรณีนี้เรามี

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

ซึ่งส่งผลให้

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

สมการเหล่านั้นจะปรากฏขึ้นเมื่อสร้างแบบจำลองระบบพารามิเตอร์แบบเชิงเส้นตรงเช่นที่พบในทฤษฎีวงจรเชิงเส้นหรือกลไกเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วสมการเหล่านั้นจะถูกจัดการโดยใช้วิธีพีชคณิตเชิงปฏิบัติการเช่นวิธีการแปลงเลซ