ค่าของ x คือ f (x) = x-x ^ 2e ^ -x เว้าหรือนูน?

ตอบ:

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองและตรวจสอบเครื่องหมาย มันนูนถ้ามันเป็นบวกและเว้าถ้ามันเป็นลบ

เว้าสำหรับ:

#x ใน (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

นูนสำหรับ:

#x ใน (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

คำอธิบาย:

# f (x) = x-x ^ ^ 2e -x #

อนุพันธ์อันดับแรก:

# f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

# f '(x) = ^ 1-2xe -x + x ^ ^ 2e -x #

เอา # อี ^ -x # เป็นปัจจัยทั่วไปในการลดความซับซ้อนของอนุพันธ์ถัดไป:

# f (x) = 1 + E ^ -x * (x ^ 2-2x) #

อนุพันธ์อันดับสอง:

# f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + E ^ -x * (2x-2)) #

# f '' (x) = E ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

# f '' (x) = E ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

ตอนนี้เราต้องศึกษาสัญญาณ เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายเพื่อแก้สมการกำลังสองได้อย่างง่ายดาย:

# f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

วิธีสร้างสมการกำลังสองเป็นผลิตภัณฑ์:

#x_ (1,2) = (- B + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

ดังนั้น:

# f '' (x) = - e ^ -x * (เอกซ์ (2-sqrt (2))) * (เอกซ์ (2 + sqrt (2))) #

• ค่าของ # x # ระหว่างโซลูชันทั้งสองนี้ให้สัญญาณกำลังสองเป็นลบขณะที่ค่าอื่น ๆ ของ # x # ทำให้เป็นบวก
• ค่าใด ๆ ของ # x # ยี่ห้อ # อี ^ -x # บวก.
• เครื่องหมายลบที่จุดเริ่มต้นของฟังก์ชั่นกลับสัญญาณทั้งหมด

ดังนั้น, # f '' (x) # คือ:

บวกดังนั้นเว้าสำหรับ:

#x ใน (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

เป็นค่าลบ

#x ใน (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #