ขีด จำกัด cos (3x) ^ (5 / x) ตามที่ x เข้าหา 0 คืออะไร

ตอบ:

#lim_ (xto0) (cos (3x)) ^ (5 / x) = 1 #

คำอธิบาย:

# (cos (3x)) ^ (5 / x) = E ^ (LN (cos (3x)) ^ (5 / x)) = E ^ ((5ln (cos (3x))) / x #

#lim_ (xto0) (5ln (cos (3x))) / x ## = 5lim_ (xto0) (LN (cos (3x))) / x = _ (DLH) ^ ((0/0)) #

# = 5lim_ (xto0) ((cos (3x)) (3x) ') / cos (3x) #

# = - 15lim_ (xto0) (บาป (3x)) / cos (3x) #

# = _ (x-> 0 y-> 0) ^ (3x = y) #

# -15lim_ (yto0) siny / บรรยากาศสบาย ๆ = lim_ (yto0) Tany = 0 #

#lim_ (xto0) (cos (3x)) ^ (5 / x) = lim_ (xto0) จ ^ ((5ln (cos (3x))) / x #

แทน

# (5ln (cos (3x))) / x = U #

# x-> 0 #

# ยู> 0 #

# = lim_ (uto0) จ ^ U = E ^ 0 = 1 #

กราฟ {(cos (3x)) ^ (5 / x) -15.69, 16.35, -7.79, 8.22}

คุณหาข้อ จำกัด ของ (x + sinx) / x เมื่อ x เข้าหา 0 ได้อย่างไร

2 เราจะใช้ขีด จำกัด ตรีโกณมิติต่อไปนี้: lim_ (xto0) sinx / x = 1 ให้ f (x) = (x + sinx) / x ทำให้ฟังก์ชั่นง่ายขึ้น: f (x) = x / x + sinx / xf ( x) = 1 + sinx / x ประเมินค่าขีด จำกัด : lim_ (x ถึง 0) (1 + sinx / x) แยกขีด จำกัด ผ่านการเพิ่ม: lim_ (x ถึง 0) 1 + lim_ (x ถึง 0) sinx / x 1 + 1 = 2 เราสามารถตรวจสอบกราฟของ (x + sinx) / x: กราฟ {(x + sinx) / x [-5.55, 5.55, -1.664, 3.885]} กราฟดูเหมือนจะรวมจุด (0, 2) แต่ในความเป็นจริงไม่ได้กำหนด

คุณจะหาขีด จำกัด ของ [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] เมื่อ x เข้าหา 0 ได้อย่างไร

ทำการคูณคอนจูเกตและลดความซับซ้อนเพื่อให้ได้ Lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 การแทนที่โดยตรงทำให้เกิดรูปแบบที่ไม่แน่นอน 0/0 ดังนั้นเราจะต้องลองอย่างอื่น ลองคูณ (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) โดย (1 + cosx) / (1 + cosx): (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) เทคนิคนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อการผันคำกริยาและทำงานได้เกือบทุกครั้ง แนวคิดคือการใช้ความแตกต่างของคุณสมบัติกำลังสอง (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 เพื่อลดความซับซ้อนของตัวเศษหรือส่วน (ในกรณีนี้คือตัวส่วน) เรียกว่า sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 หรือ

คุณหาข้อ จำกัด ของ (arctan (x)) / (5x) เมื่อ x เข้าหา 0 ได้อย่างไร

Lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 เมื่อต้องการค้นหาข้อ จำกัด นี้ให้สังเกตว่าทั้งตัวเศษและส่วนไปที่ 0 เป็น x เข้าหา 0 ซึ่งหมายความว่าเราจะได้รับแบบไม่แน่นอน ดังนั้นเราสามารถใช้กฎของโรงพยาบาล lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 โดยการใช้กฎของโรงพยาบาลเราใช้อนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนทำให้เรา lim_ (x-> 0) (1 / ( x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 + 5) = 1/5 เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ โดยทำกราฟฟังก์ชันเพื่อให้ทราบว่า x เข้าใกล้อะไร กราฟของ arctan x / (5x): กราฟ {(arctan x) / (5x) [-0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025]}