ใช้ http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w คุณออกแบบอย่างไร ชุดของจำนวนตรรกยะ {x} ที่ใช้ซ้ำกับหลักล้าน?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ไปอีกขั้นหนึ่งแล้วออกแบบชุดที่มี ทุกๆ จำนวนตรรกยะที่มีซ้ำด้วย #10^6# ตัวเลข

คำเตือน: ต่อไปนี้เป็นภาพรวมอย่างมากและมีสิ่งปลูกสร้างที่ผิดปกติ อาจสร้างความสับสนให้กับนักเรียนที่ไม่คุ้นเคยกับการสร้างฉาก

ก่อนอื่นเราต้องการสร้างชุดความยาวซ้ำของเรา #10^6#. ในขณะที่เราสามารถเริ่มต้นด้วยชุด #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# ซึ่งมีจำนวนธรรมชาติมากที่สุด #10^6# ตัวเลขเราจะพบปัญหา ตัวอย่างของการทำซ้ำเหล่านี้อาจแสดงด้วยสตริงที่เล็กลงตัวอย่างเช่น # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, หรือ # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. เพื่อหลีกเลี่ยงสิ่งนี้เราต้องกำหนดคำใหม่ก่อน

พิจารณาจำนวนเต็ม #a ใน 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. ปล่อย # a_1a_2 … a_ (10 ^ 6) # เป็น #10^6# การแสดงตัวเลขของจำนวนเต็มนั้นอาจมีการนำหน้า #0#ถ้า # A # มีน้อยกว่า #10^6# ตัวเลข เราจะโทรหา # A # มีประโยชน์ ถ้าสำหรับตัวหารที่เหมาะสมทุกคน # ม # ของ #10^6#, # A # ไม่ใช่ของแบบฟอร์ม # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

ตอนนี้เราสามารถทำให้ชุดของการทำซ้ำ

ปล่อย #A = {a ใน {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: a "มีประโยชน์"} #

ต่อไปเราจะสร้างชุดเลขทศนิยมเริ่มต้นที่ไม่ซ้ำของเรา โปรดทราบว่าสิ่งนี้อาจมีส่วนนำ #0#s หรือประกอบด้วยทั้งหมด #0#s เราจะแทนตัวเลขของเราเป็น tuples ของแบบฟอร์ม # (k, b) #ที่ไหน # k # จะแสดงความยาวของสตริงของตัวเลขและ # B # จะแทนค่าเมื่อประเมินเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่นตัวเลข #00032# จะจับคู่กับสิ่งอันดับ #(5, 32)#.

ปล่อย #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

สุดท้ายเรามาเพิ่มส่วนจำนวนเต็มของเราลงในการผสม โปรดทราบว่าไม่เหมือนกับส่วนที่เป็นเศษส่วนเราจะพิจารณาลงชื่อที่นี่และใช้ # ZZ # แทน # NN #.

ปล่อย #C = A xx B xx ZZ #. นั่นคือ, # C # เป็นชุดของ #3#-tuples # (a, (k, b), c) # ดังนั้น, # A # เป็นจำนวนเต็มที่มีประโยชน์โดยมากที่สุด #10^6# ตัวเลข # (k, b) # หมายถึง # k #-digit สตริงของตัวเลขที่มีค่าสำคัญคือ # B #และ c # # เป็นจำนวนเต็ม

ตอนนี้เราได้กำหนดทุกสิ่งที่เป็นไปได้แล้ว #a, b, c # สตริงที่มีคุณสมบัติที่ต้องการเราจะรวมเข้าด้วยกันโดยใช้แบบฟอร์มที่สร้างขึ้นในคำถามที่อ้างอิง

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)):(a, (k, b), c) ใน C} #

แล้วก็ #S ชุดย่อย QQ # เป็นชุดของจำนวนตรรกยะด้วย #10^6# การทำซ้ำหลัก

ขอบคุณ Sente ทฤษฎีนี้อยู่ในคำตอบของเขา

สำหรับเซตย่อยของคำตอบ

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I ใน N # และ M เป็นเศษส่วนที่เหมาะสมของแบบฟอร์ม m- หลัก

จำนวนเต็ม/# 10 # ^ เมตร, #d_ (เอ็มเอส) # เป็นตัวเลขที่สำคัญที่สุดที่ไม่เป็นศูนย์ LSD

หมายถึงตัวเลขที่สำคัญน้อยที่สุด..

ชี้แจง:

ให้ฉัน = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 และ d_ (msd) = 3 #. ใน-

ระหว่าง d มีทั้งหมด 0..

แล้วก็

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … ไปไม่ จำกัด

หมายเหตุการหารโดย #10^100001-1=9999…9999#.

ทั้งเศษและส่วนมีจำนวน sd เท่ากัน

Sans msd d, d อาจมีก็ได้ #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.