มีตัวเลขอยู่ระหว่าง 1 ถึง 99999 ซึ่งมีผลรวมของตัวเลขเท่ากับ 9 ฉันต้องการวิธีการ

ตอบ:

#715#

คำอธิบาย:

# "ทางคณิตศาสตร์เรากำลังค้นหา a, b, c, d, e อย่างนั้น" #

# "a + b + c + d + e = 9. a, b, c, d, e เป็นจำนวนเต็มบวก" #

# "นี่คือปัญหาดาวและบาร์เรามี 9 ดาว (รวม" #

# "ของตัวเลข) และพวกเขาจะต้องแบ่งออกเป็น 5 กลุ่ม" #

# "จำนวนชุดค่าผสมสำหรับ C (9 + 4,4) = C (13,4)," #

# "กับ" #

#C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) #

# "ดังนั้นที่นี่เรามี" #

#C (13,4) = (13!) / ((9!) (4!)) = 715 #

# "เป็นไปได้". #

ตอบ:

#715#

คำอธิบาย:

สมมติว่าคุณมี #5# กล่องและ #9# วัตถุที่เหมือนกันเพื่อกระจายระหว่างพวกเขา สามารถทำได้กี่วิธี

การเขียน # "" ^ n D_k # สำหรับจำนวนวิธีการกระจาย # n # วัตถุที่เหมือนกันระหว่าง # k # กล่องเรามี:

• # "" ^ 0 D_k = 1 #

• # "" ^ 1 D_k = k #

• # "" ^ n D_1 = 1 #

• # "" ^ n D_2 = "" ^ n D_1 + "" ^ (n-1) D_1 + … + "" ^ 0 D_1 = n + 1 #

• # "" ^ n D_3 = "" ^ n D_2 + "" ^ (n-1) D_2 + … + "" ^ 0 D_2 #

  # = (n + 1) + ((n-1) +1) + … + (1 + 1) + (0 + 1) = 1/2 (n + 1) (n + 2) #

• # "" ^ n D_4 = "" ^ n D_3 + "" ^ (n-1) D_3 + … + "" ^ 0 D_3 #

  # = 1/2 (n + 1) (n + 2) + 1/2 ((n-1) +1) ((n-1) +2) + … + 1/2 (0 + 1) (0 + 2) #

# = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) #

• # "" ^ n D_5 = "" ^ n D_4 + "" ^ (n-1) D_4 + … + "" ^ 0 D_4 #

  # = 1/6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) +1/6 ((n-1) +1) ((n-1) +2) ((n-1) +3) + … 1/6 + (0 + 1) (0 + 2) (0 + 3) #

# = 1/24 (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) #

ดังนั้น:

# "" ^ 9 D_5 = 1/24 (9 + 1) (9 + 2) (9 + 3) (9 + 4) = 715 #