ค่าทั้งหมดสำหรับ k ที่ int_2 ^ kx ^ 5dx = 0 คืออะไร

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

และ

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # แต่

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # และ

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # ดังนั้น

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) 2 #

หรือ

# {(k + 2 = 0) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0) (k-2 = 0) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

จากนั้นในที่สุด

คุณค่าที่แท้จริง #k = {-2,2} #

ค่าที่ซับซ้อน #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

ตอบ:

# k = + - 2 #

คำอธิบาย:

เราต้องการ:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

การผสานรวมที่เราได้รับ:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 สี (ขาว) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

สมมติว่า #k ใน RR # (มีจริง #6# ราก, #4# ซึ่งซับซ้อน)

ตอนนี้ขึ้นอยู่กับบริบทของปัญหาใครอาจโต้แย้งว่า #K <2 # (เช่น # k = -2 #) ไม่ถูกต้องเนื่องจาก #K> = 2 # เพื่อให้ภายใน "เหมาะสม" จึงไม่รวมโซลูชันนั้น แต่ไม่มีบริบทใด ๆ จึงมีเหตุผลที่จะรวมโซลูชันทั้งสอง

นอกจากนี้โปรดทราบว่า #K + = - 2 # อาจแสดงให้เห็นว่าเป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยไม่ต้องทำการรวมใด ๆ

ประการแรกคุณสมบัติของปริพันธ์ที่แน่นอนคือ:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

เพื่อให้เราสามารถสร้างได้ทันที # k = 2 # เป็นทางออก

ประการที่สอง # x ^ 5 # เป็น แปลก ฟังก์ชั่นและฟังก์ชั่นแปลกตอบสนอง:

# f (-x) = f (x) #

และมีความสมมาตรในการหมุนเกี่ยวกับจุดกำเนิด เช่นถ้า # f (x) # แปลกแล้ว:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

เพื่อให้เราสามารถสร้างได้ทันที # k = -2 # เป็นทางออก

การรวมและการคำนวณที่ตามมาทำอย่างไรก็พิสูจน์ได้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นทางออกเดียว!