Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) ใน [2,9] คืออะไร?

ตอบ:

ขั้นต่ำที่แน่นอนคือ # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ # x = 9 #.

จำนวนสูงสุดที่แน่นอนคือ # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ # x = 2 #.

คำอธิบาย:

extrema สัมบูรณ์ของฟังก์ชันเป็นค่า y ที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนโดเมนที่กำหนด โดเมนนี้อาจมอบให้กับเรา (เหมือนในปัญหานี้) หรืออาจเป็นโดเมนของฟังก์ชันเอง แม้เมื่อเราได้รับโดเมนเราจะต้องพิจารณาโดเมนของฟังก์ชันเองในกรณีที่มันไม่รวมค่าใด ๆ ของโดเมนที่เราได้รับ

# f (x) # มีเลขชี้กำลัง #1/3#ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม โชคดีที่โดเมนของ #p (x) = root3 (x) # คือ # (- OO, OO) # ดังนั้นความจริงข้อนี้ไม่ใช่ปัญหา

อย่างไรก็ตามเรายังต้องพิจารณาข้อเท็จจริงที่ว่าตัวหารไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ ตัวส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อ # x + = - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. ค่าเหล่านี้ไม่อยู่ในโดเมนที่กำหนดของ #2,9#.

ดังนั้นเราจึงหันไปหาสุดยอดความสมบูรณ์แบบ #2,9#. Extrema ที่เกิดขึ้นจริงที่จุดสิ้นสุดของโดเมนหรือที่ Extrema ท้องถิ่นนั่นคือจุดที่ฟังก์ชั่นเปลี่ยนทิศทาง Extrema ท้องถิ่นเกิดขึ้นที่จุดวิกฤติซึ่งเป็นคะแนนในโดเมนที่อนุพันธ์เท่ากับ #0# หรือไม่มีอยู่จริง ดังนั้นเราต้องหาอนุพันธ์ ใช้กฎความฉลาดทาง:

# f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

# f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

ถ้าเราคำนึงถึง # -3x ^ (- 2/3) # เรามี:

# f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

ไม่มีค่าเป็น # x # บน #2,9# ที่ไหน # f (x) # ไม่ได้อยู่. นอกจากนี้ยังไม่มีค่าบน #2,9# ที่ไหน # f (x) = 0 #. ดังนั้นจึงไม่มีจุดวิกฤติในโดเมนที่กำหนด

การใช้ "การทดสอบผู้สมัคร" เราค้นหาค่าของ # f (x) # ที่จุดสิ้นสุด #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

ตรวจสอบอย่างรวดเร็วเกี่ยวกับเครื่องคิดเลขของเราแสดงให้เห็นว่า:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (สูงสุดแน่นอน)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (ขั้นต่ำแน่นอน)

Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 ใน [0,3] คืออะไร?

ใน [0,3] สูงสุดคือ 19 (ที่ x = 3) และต่ำสุดคือ -1 (ที่ x = 1) ในการค้นหาสัมบูรณ์ extrema ของฟังก์ชัน (ต่อเนื่อง) ในช่วงเวลาปิดเรารู้ว่า extrema ต้องเกิดขึ้นที่ numers เชิงวิกฤตในช่วงเวลาหรือที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลา f (x) = x ^ 3-3x + 1 มีอนุพันธ์ f '(x) = 3x ^ 2-3 จะไม่มีการกำหนด 3x ^ 2-3 และ 3x ^ 2-3 = 0 ที่ x = + - 1 เนื่องจาก -1 ไม่อยู่ในช่วง [0,3] เราจึงยกเลิก จำนวนวิกฤติที่ต้องพิจารณาคือ 1 f (0) = 1 f (1) = -1 และ f (3) = 19 ดังนั้นค่าสูงสุดคือ 19 (ที่ x = 3) และต่ำสุดคือ -1 (ที่ x = 1)

Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) ใน [1,4] คืออะไร

ไม่มีสูงสุดทั่วโลก global minima คือ -3 และเกิดขึ้นที่ x = 3 f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (x ^ 2 - 6x + 6)) / (x - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6 โดยที่ 1 f '(x) = 2x - 6 extrema สัมบูรณ์เกิดขึ้นที่จุดปลายหรือที่ จำนวนที่สำคัญ ปลายทาง: 1 & 4: x = 1 f (1): "ไม่ได้กำหนด" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 จุดวิกฤติ (f) (f) = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 ที่ x = 3 f (3) = -3 ไม่มีสูงสุดทั่วโลก ไม่มี minima ทั่วโลกคือ -3 และเกิดขึ้นที่ x = 3

Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) ใน [oo, oo] คืออะไร?

X = 0 คือจำนวนสูงสุดของฟังก์ชั่น f (x) = 1 / (1 + x²) ลองค้นหา f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) ดังนั้นเราจะเห็นว่ามันมีทางออกที่เป็นเอกลักษณ์ f ' (0) = 0 และนั่นก็แก้ปัญหานี้เป็นจำนวนสูงสุดของฟังก์ชั่นเพราะ lim_ (x ถึง± oo) f (x) = 0 และ f (0) = 1 0 / นี่คือคำตอบของเรา!