ถ้าเป็นไปได้ให้หาฟังก์ชั่น f ที่ grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

ตอบ:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

คำอธิบาย:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "ตอนนี้รับ" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "จากนั้นเรามี f ตัวเดียวกันและเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด" #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

ตอบ:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

คำอธิบาย:

เรามีสัญกรณ์ไม่ดีในคำถามเนื่องจากตัวดำเนินการเดล (หรือตัวดำเนินการไล่ระดับสี) เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์แบบเวกเตอร์

เราแสวงหาฟังก์ชั่น # f (x, y) # ดังนั้น:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

ที่ไหน #bb (จบ) # เป็นตัวดำเนินการไล่ระดับสี:

# "grad" f = bb (จบ) f = (บางส่วน f) / (บางส่วน x) bb (ul hat i) + (บางส่วน f) / (บางส่วน x) bb (ul หมวก j) = << f_x, f_y> > #

จากสิ่งที่เราต้องการ:

# f_x = (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

ถ้าเรารวม A wrt # x #ในขณะที่รักษา # Y # เป็นค่าคงที่เราจะได้รับ:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

ถ้าเรารวม B wrt # Y #ในขณะที่รักษา # x # เป็นค่าคงที่เราจะได้รับ:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x5 ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

ที่ไหน #u (y) # เป็นฟังก์ชั่นโดยพลการของ # Y # คนเดียวและ #v (x) # เป็นฟังก์ชั่นโดยพลการของ # x # คนเดียว

เห็นได้ชัดว่าเราต้องการฟังก์ชันเหล่านี้เหมือนกันดังนั้นเราจึงมี:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

ดังนั้นเราจึงเลือก #v (x) = x ^ 4 # และ #u (y) y = ^ 6 #ซึ่งให้ทางออกแก่เรา:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

เราสามารถยืนยันการแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณอนุพันธ์ย่อย:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (ผู้สำเร็จการศึกษา) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED