ฉันจะหาอินทิกรัล intsin ^ -1 (x) dx ได้อย่างไร

โดยบูรณาการโดยชิ้นส่วน

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #

ให้เราดูรายละเอียดบางอย่าง

ปล่อย # U = บาป ^ {- 1} x # และ # DV = DX #.

#Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} # และ # v = x #

โดยบูรณาการโดยชิ้นส่วน

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2} dx #

ปล่อย # U = 1 x ^ 2 #. #Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} #

# intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = - 1 / 2intu ^ {- 1/2} du #

# = - U ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C #

ดังนั้น

#int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #

ฉันจะหาอินทิกรัล int (ln (x)) ^ 2dx ได้อย่างไร

วัตถุประสงค์ของเราคือการลดพลังงานของ ln x เพื่อให้อินทิกรัลนั้นง่ายต่อการประเมิน เราสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้การรวมเป็นส่วน ๆ โปรดจำไว้ว่าสูตร IBP: int u dv = uv - int v du ตอนนี้เราจะให้ u = (lnx) ^ 2 และ dv = dx ดังนั้น du = (2lnx) / x dx และ v = x ทีนี้เมื่อประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกันเราจะได้รับ: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx อินทิกรัลใหม่ดูดีขึ้นมาก! ลดความซับซ้อนลงเล็กน้อยและนำค่าคงที่ออกมาด้านหน้าผลผลิต: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx ทีนี้เพื่อกำจัดอินทิกรัลถัดไปนี้เราจะทำการรวมครั้งที่สอง โดยชิ้นส่วนให้ u = ln x และ dv = dx ดังนั้น du = 1 / x dx และ v = x การประกอบช่วยให้เรา: i

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x ^ 2 * sin (pix)) dx ได้อย่างไร

การใช้การรวมโดยชิ้นส่วน intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C โปรดจำไว้ว่าการรวมกลุ่มโดยใช้สูตร: intu dv = uv - intv du ซึ่งเป็นไปตามกฎของผลิตภัณฑ์สำหรับอนุพันธ์: uv = vdu + udv ในการใช้สูตรนี้เราต้องตัดสินใจว่าคำใดจะเป็น u และจะเป็น dv วิธีที่มีประโยชน์ในการค้นหาว่าคำใดไปที่ซึ่งเป็นวิธี ILATE Inverse Trig ลอการิทึมพีชคณิตเอ็กซ์โพเนนเชียลตรีโกณมิติสิ่งนี้ให้ลำดับความสำคัญของคำที่ใช้สำหรับ "u" ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่จะกลายเป็น dv ของเรา ฟังก์ชั่นของเรามี x ^ 2 และ sinpix ดังนั้นวิธี ILATE บอกเราว่าควรใช้ x ^ 2 เป็น u ของเราเนื่องจากมันเป็นพีชคณิตและสูงกว่าในราย

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร

เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ: int u dv = uv - int v du เพื่อหาอินทิกรัลนี้สำเร็จเราจะให้ u = x, และ dv = cos 5x dx ดังนั้น du = dx และ v = 1/5 sin 5x (v สามารถพบได้โดยใช้การแทนที่ u อย่างรวดเร็ว) เหตุผลที่ฉันเลือก x สำหรับค่าของ u คือเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะสิ้นสุดการรวม v คูณด้วยอนุพันธ์ของ u เนื่องจากอนุพันธ์ของ u เป็นเพียง 1 และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงลบ x จากอินทิกแรนด์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์เท่านั้น ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx การดึง 1/5 จากอินทิกรั