แคลคูลัส

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มี extrema ในเครื่อง ที่ extremum ท้องถิ่นเราจะต้องมี f prime (x) = 0 ทีนี้ f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 ให้เราพิจารณาว่ามันจะหายไปหรือไม่ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นค่าของ g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x จะต้องเท่ากับ -8 เนื่องจาก g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, extrema ของ g (x) อยู่ที่จุดที่ x ^ 2 + 10x + 11 = 0, เช่นที่ x = -5 pm sqrt {14} เนื่องจาก g (x) ถึง infty และ 0 เป็น x ถึง pm infty ตามลำดับจึงง่ายที่จะเห็นว่าค่าต่ำสุดจะอยู่ที่ x = -5 + sqrt {14} เรามี g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56 เพื่อให้ค่าต่ำสุดของ f prime (x) ~~ 6.44 - เพื่อให้มันไม่มีทางถึงศูนย์ อ่านเพิ่มเติม »

Parabolae มีหนึ่ง extrema จุดสุดยอด มันคือ (-4 1/2, -19 1/4) ตั้งแต่ {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 ทุกหนทุกแห่งฟังก์ชั่นจะเว้าทุกที่และจุดนี้ต้องน้อยที่สุด คุณมีสองรูตในการค้นหาจุดสุดยอดของพาราโบลา: หนึ่งใช้แคลคูลัสเพื่อค้นหาว่าอนุพันธ์คือศูนย์; สองหลีกเลี่ยงแคลคูลัสที่ค่าใช้จ่ายทั้งหมดและเพียงแค่เติมสี่เหลี่ยม เราจะใช้แคลคูลัสสำหรับการฝึกซ้อม f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, เราต้องหาอนุพันธ์ของเจ้านี่ {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) โดยความเป็นเส้นตรงของอนุพันธ์เรามี {df (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) การใช้กฎกำลัง d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} เรามี {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x อ่านเพิ่มเติม »

Local Extrema: x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 ค้นหาอนุพันธ์ f '(x) ตั้งค่า f' (x) = 0 นี่คือค่าที่สำคัญของคุณและ extrema ท้องถิ่นที่มีศักยภาพ วาดเส้นตัวเลขด้วยค่าเหล่านี้ เสียบค่าภายในแต่ละช่วงเวลา ถ้า f '(x)> 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ถ้า f '(x) <0 ฟังก์ชันจะลดลง เมื่อฟังก์ชันเปลี่ยนจากค่าลบเป็นค่าบวกและต่อเนื่อง ณ จุดนั้นจะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่ และในทางกลับกัน. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] / (3-5x) ^ 2 f '(x) = (- 10x ^ 3-x ^ 2 + 12x) / (3 -5x) ^ 2 f '(x) = [- x (10x ^ 2 + x-12)] / (3-5x) ^ 2 ค อ่านเพิ่มเติม »

X = 0, -4/3 ค้นหาอนุพันธ์ของ f (x) = x ^ 2 (x + 2) คุณจะต้องใช้กฎผลิตภัณฑ์ f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) ตั้งค่า f '(x) เท่ากับศูนย์เพื่อค้นหาจุดวิกฤติ x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x) มี extrema ท้องถิ่นที่ x = 0, -4/3 หรือ f (x) มี extrema ท้องถิ่นที่จุด (0, 0) และ (-4/3, 32/27) อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นนี้มี 2 extrema: f_ {max} (- 2) = 18 และ f_ {min} (2) = - 14 เรามีฟังก์ชั่น: f (x) = x ^ 3-12x + 2 เพื่อหา extrema เราคำนวณอนุพันธ์ f '(x) = 3x ^ 2-12 เงื่อนไขแรกในการค้นหาจุดสุดขีดคือจุดนั้นมีอยู่เฉพาะเมื่อ f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 ทีนี้เราต้องตรวจสอบว่าการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์เข้าสู่ระบบที่จุดเผาผลาญหรือไม่: กราฟ {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} จากกราฟเราจะเห็นว่า f (x) มีค่าสูงสุดสำหรับ x = -2 และต่ำสุดสำหรับ x = 2 ขั้นตอนสุดท้ายคือการคำนวณค่า f (-2) และ f (2) อ่านเพิ่มเติม »

X ^ 3-3x + 6 มี extrema ท้องถิ่นที่ x = -1 และ x = 1 Extrema ท้องถิ่นของฟังก์ชั่นเกิดขึ้นที่จุดที่อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชั่นเป็น 0 และสัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ครั้งแรก นั่นคือสำหรับ x โดย f '(x) = 0 และ f' (x-varepsilon) <= 0 และ f '(x + varepsilon)> = 0 (ขั้นต่ำในพื้นที่) หรือ f' (x-varepsilon)> = 0 และ f '(x + varepsilon) <= 0 (สูงสุดในท้องถิ่น) เพื่อค้นหา extrema ท้องถิ่นจากนั้นเราต้องค้นหาจุดที่ f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) ดังนั้น f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) (x-1) = 0 <=> x = + -1 ดูเครื่องหมายของ f 'เราจะได้ { อ่านเพิ่มเติม »

ค่าสูงสุด = 19 ที่ x = -1 ต่ำสุด = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 เมื่อต้องการค้นหา extrema ท้องถิ่นก่อนค้นหาจุดวิกฤติ f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 ตั้งค่า f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 หรือ x = -1 เป็นจุดวิกฤติ เราจำเป็นต้องทำการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0 ดังนั้น f บรรลุขั้นต่ำที่ x = 5 และค่าต่ำสุดคือ f (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0 ดังนั้น f บรรลุสูงสุดที่ x = -1 และค่าสูงสุดคือ f (-1) = 19 อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นที่กำหนดมีจุดต่ำสุด แต่แน่นอนไม่ได้มีจุดสูงสุด ฟังก์ชั่นที่กำหนดคือ: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) เมื่อมีการกระจัดกระจาย f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) สำหรับจุดวิกฤติเราต้องตั้งค่า f '(x) = 0. หมายถึง (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ) ^ 2) = 0 หมายถึง x ~~ -0.440489 นี่คือประเด็นของ extrema ในการตรวจสอบว่าฟังก์ชั่นบรรลุค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดที่ค่านี้เราสามารถทำการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '' (- 0.44)> 0 เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวก ณ จุดนั้น นี่ก็หมายความว่าฟังก์ชันบรรลุจุดต่ำสุด ณ จุดนั้น อ่านเพิ่มเติม »

จุดวิกฤติจำนวนจริงหนึ่งจุดของฟังก์ชันนี้คือ x ประมาณ -9.01844 จุดต่ำสุดท้องถิ่นเกิดขึ้น ณ จุดนี้ โดย Quotient Rule อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้คือ f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) ฟังก์ชั่นนี้เท่ากับศูนย์หากและหาก 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0 รากของลูกบาศก์นี้รวมถึงจำนวนลบจริง (จริง) และจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวน รูทที่แท้จริงคือ x ประมาณ -9.01844 หากคุณเสียบตัวเลขน้อยกว่านี้ลงใน f 'คุณจะได้ผลลัพธ์เป็นลบและถ้าคุณเสียบตัวเลขที่มากกว่านี้ลงใน f' คุณจะได้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก ดังนั้นจุดวิกฤตินี้จะให้ค่าต่ำสุดในท้องถิ่นของ f (และ f (-9.01844) ประมาณ 244 เป็นค่าต่ำสุด อ่านเพิ่มเติม »

(0.14414, 0.05271) เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น (1.45035, 0.00119) และ (-1.59449, -1947.21451) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,: 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,: e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo สิ่งนี้ไม่ถือว่าเป็น extremum ท้องถิ่น 3x ^ 3-7x + 1 = 0 เพื่อแก้หารากของฟังก์ชันลูกบาศก์นี้เราใช้วิธี Newton-Raphson: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) นี่คือ กระบวนการวนซ้ำที่จะพาเราเข้าใกล้รากของฟังก์ชันมากขึ้น ฉันไม่ได้รวมกระบวนการที่มีความยาวอยู่ที่นี่ แต่เมื่อมาถึงที่รูทแรกเราสามารถทำการหารยาวและแก้สม อ่านเพิ่มเติม »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) ประมาณ 0.541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 ใช้กฎผลิตภัณฑ์ f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx สำหรับ maxima ท้องถิ่นหรือ minima: f' (x) = 0 ให้ z = lnx: z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 หรือ z = -2 ดังนั้นสำหรับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในท้องถิ่น: lnx = 0 หรือ lnx = -2: .x = 1 หรือ x = e ^ -2 ประมาณ 0.135 ทีนี้ลองตรวจสอบกราฟของ x (lnx) ^ 2 ด้านล่าง กราฟ {x (lnx) ^ 2 [-2.566, 5.23, -1.028, 2.87]} เราสามารถสังเกตได้ว่าแบบง่าย f (x) มีค่าต่ำสุดในท้องถิ่นที่ x = 1 และค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่ x ใน (0, 0.25) ดังนั้น : f_min อ่านเพิ่มเติม »

โดยวิธีกราฟิกสูงสุดในท้องถิ่นคือ 1.365 เกือบที่จุดเปลี่ยน (-0.555, 1.364) เกือบ ส่วนโค้งมีเส้นกำกับ y = 0 larr คือแกน x การประมาณไปยังจุดเปลี่ยน (-0.555, 1.364) นั้นได้มาจากการเคลื่อนที่ของเส้นคู่ขนานกับแกนเพื่อตอบสนองที่จุดสุดยอด ตามที่ระบุในกราฟสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็น x ถึง -oo, y ถึง 0 และ, เป็น x ถึง oo, y ถึง -oo # กราฟ {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1.364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5]} อ่านเพิ่มเติม »

เรามีค่าสูงสุดที่ x = 0 ในฐานะ f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x เป็น f' (x) = 0 สำหรับ x = 0 ดังนั้นเราจึงมี extrema ท้องถิ่นที่ x = -9 / 4 นอกจากนี้ f '' (x) = - 4 และด้วยเหตุนี้ที่ x = 0 เรามีค่าสูงสุดที่ x = 0 กราฟ {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มี Extrema ท้องถิ่น Extrema ท้องถิ่นอาจเกิดขึ้นเมื่อ f '= 0 และเมื่อ f' เปลี่ยนจากบวกเป็นลบหรือกลับกัน f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 คูณด้วย x ^ 4 / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Extrema ท้องถิ่นอาจเกิดขึ้นเมื่อ f '= 0 เนื่องจากเราไม่สามารถหาคำตอบได้เมื่อเกิดเหตุการณ์เชิงพีชคณิตลองทำกราฟ f ': f' (x): กราฟ {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f 'ไม่มีศูนย์ ดังนั้น f ไม่มี extrema เราสามารถตรวจสอบกับกราฟของ f: กราฟ {x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x [-5, 5, -118.6, 152.4]} ไม่มี ex อ่านเพิ่มเติม »

Extrema ในท้องที่คือ -2sqrt (6) ที่ x = -sqrt (3/2) และ 2sqrt (6) ที่ x = sqrt (3/2) Extrema ท้องถิ่นตั้งอยู่ที่จุดที่อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันประเมินเป็น 0 ดังนั้นในการค้นหาพวกเราจะหาอนุพันธ์ f '(x) ก่อนแล้วจึงแก้หา f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 ต่อไปแก้หา f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) ดังนั้นการประเมินฟังก์ชั่นดั้งเดิมที่จุดเหล่านั้นเราได้รับ -2sqrt (6) เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่ x = -sqrt (3/2) และ 2sqrt (6) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่นที่ x = sqrt (3/2) อ่านเพิ่มเติม »

Minima f: 38.827075 ที่ x = 4.1463151 และอีกอันสำหรับลบ x ฉันจะไปที่นี่เร็ว ๆ นี้พร้อมกับสิ่งต่ำสุดอื่น ๆ .. ด้วยเหตุนี้ f (x) = (a biquadratic ใน x) / (x-1) ^ 2 การใช้วิธีเศษส่วนบางส่วน f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 แบบฟอร์มนี้แสดงพาราโบลาเชิงซีโมติก y = x ^ 2 + 3x +4 และเส้นกำกับแนวดิ่ง x = 1 เมื่อ x ถึง + -oo, f ถึง oo กราฟแรกแสดงให้เห็นว่าเส้นกำกับพาราโบลิคอยู่ในระดับต่ำ อันที่สองเผยให้เห็นกราฟทางด้านซ้ายของเส้นกำกับแนวดิ่ง, x = 1 และอันที่สามเป็นด้านขวา สิ่งเหล่านี้จะถูกปรับขนาดให้เหมาะสมเพื่อแสดง local minima f = 6 และ 35 เกือบจะใช้วิธีวนซ้ำแบบเริ่มต้นด้วย x_0 = 3, Q_1 ต่ำสุด f คือ 38.827075 ที่ อ่านเพิ่มเติม »

F_ (นาที) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4 สังเกตว่า, f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x ใน RR- {1/4} = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4: f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4 ตอนนี้สำหรับ Local Extrema, f '(x) = 0, และ, f' '(x)> หรือ <0, "ตามที่เป็น" f_ (ขั้นต่ำ) หรือ f_ (สูงสุด), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/4) = 1 / {4 อ่านเพิ่มเติม »

ฉันคิดว่าอาจมีข้อผิดพลาดหรือเป็นคำถาม 'หลอกลวง' 1 ^ x = 1 สำหรับทุก x ดังนั้น ln1 ^ 1 = ln1 = 0 ดังนั้น f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 สำหรับ x ทั้งหมด f เป็นค่าคงที่ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ f คือ 0 อ่านเพิ่มเติม »

มาดูกัน. ปล่อยให้ฟังก์ชั่นเป็น y : .y = f (x) = E ^ (x ^ 2) -x ^ ^ x 2e ตอนนี้หา dy / dx และ (d ^ 2y) / dx ^ 2 ตอนนี้ทำตามขั้นตอนบางอย่างที่กำหนดใน URL ต่อไปนี้ http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-f-x-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo หวังว่าจะช่วย :) อ่านเพิ่มเติม »

ที่ x = pi / 2 f '' (x) = - 1 เรามี maxima ในพื้นที่และที่ x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 เรามี minima ท้องถิ่น Maxima เป็นจุดที่สูงซึ่งฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นแล้วตกอีกครั้ง เช่นความชันของแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้นจะเป็นศูนย์ นอกจากนี้เมื่อแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของแม็กซิม่าจะเอียงขึ้นไปจากนั้นแฟบและจากนั้นลาดลงด้านล่างความชันของแทนเจนต์จะลดลงอย่างต่อเนื่องเช่นค่าของอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นค่าลบ ในอีกด้านหนึ่งเป็นจุดต่ำสุดที่ฟังก์ชั่นตกแล้วเพิ่มขึ้นอีกครั้ง เช่นแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ที่ minima ก็จะเป็นศูนย์ แต่เนื่องจากแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของ minima จะเอียงลงจากนั้นแฟบและจากนั้นขึ้นไปทางลาดชันของ tangent จะเพ อ่านเพิ่มเติม »

ใกล้ + -1.7 ดูกราฟที่ให้การประมาณนี้ ฉันจะพยายามให้ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นในภายหลัง กราฟแรกแสดงให้เห็นว่าเส้นกำกับ x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. โปรดทราบว่า tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) มี ขีด จำกัด + -oo เป็น x ถึง 0 _ + - กราฟที่สอง (ไม่ใช่ขนาดเฉพาะกิจ) ใกล้เคียงกับ extrema ท้องถิ่นเป็น + -1.7 ฉันจะปรับปรุงสิ่งเหล่านี้ในภายหลัง ไม่มี Extrema ทั่วโลก กราฟ {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} กราฟ {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} อ่านเพิ่มเติม »

X = 1.763 หาอนุพันธ์ของ lnx / e ^ x โดยใช้กฎความฉลาด: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) นำออก ae ^ x จากด้านบนและเลื่อนลงไปที่ตัวหาร: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x ค้นหาเมื่อ f' (x) = 0 สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ ตัวเศษคือ 0: 0 = (1 / x-ln (x)) คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขกราฟสำหรับอันนี้ x = 1.763 การเสียบตัวเลขที่ต่ำกว่า 1.763 จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวกขณะที่การเสียบหมายเลขที่สูงกว่า 1.763 จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นลบ นี่คือค่าสูงสุดในท้องถิ่น อ่านเพิ่มเติม »

Minima (0, 0) Maxima (-4/3, 1 5/27) Given- y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 ที่ x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 ที่ x = 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุดที่ x = 0 ที่ x = 0; y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 Minima ( 0, 0) ที่ x = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 ที่ x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 ดังนั้นฟังก์ชั่นจึงมี maxima ที่ x = -4 / 3 ที่ x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Maxima (-4/3, 1 5/2 อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุดในท้องถิ่นคือ 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 ขั้นต่ำในท้องถิ่นคือ 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 เพื่อหา extrema ท้องถิ่นเราสามารถใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรก เรารู้ว่าที่ extrema ท้องถิ่นอย่างน้อยที่สุดอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันจะเท่ากับศูนย์ งั้นลองหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งแล้วตั้งค่าเป็น 0 และแก้หา x f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 ความเท่าเทียมนี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายด้วยสมการกำลังสอง สูตร. ในกรณีของเรา a = -3, b = 6 และ c = 10 สูตรกำลังสองสถานะ: x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) ถ้าเราเสียบค่าของเรากลับเข้าไปในสูตรกำลังสอง เราได้ x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุด (0; 0) และ MIN (-10 / 3,20 / 29) เราคำนวณ f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 ดังนั้น f '(x) = 0 ถ้า x = 0 หรือ x = -10 / 3 เรามี f' '(0) = - 2/5 <0 และ f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 อ่านเพิ่มเติม »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) ดังนั้นฟังก์ชั่น จะกลายเป็น: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) ตอนนี้ f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 สำหรับจุดสุดยอดในท้องที่ f '(x) = 0 ดังนั้น [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 อ่านเพิ่มเติม »

ค่าสูงสุดสัมพัทธ์: (-1, 6) ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: (3, -26) ให้: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 ค้นหาจำนวนวิกฤตโดยหาอนุพันธ์อันดับแรกและตั้งค่าให้เท่ากับ ศูนย์: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 ตัวคูณ: (3x + 3) (x -3) = 0 หมายเลขวิกฤต: x = -1, "" x = 3 ใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองเพื่อ ค้นหาว่าตัวเลขที่สำคัญเหล่านี้เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่" x = -1 f '' ( 3) = 12> 0 => "นาทีขั้นต่ำที่" x = 3 f (-1) = (-1) ^ 3 - 3 (-1) ^ 2 - 9 (-1) + 1 = 6 f (3) = 3 ^ 3 - 3 (3) ^ 2 - 9 (3) + 1 = -26 อ่านเพิ่มเติม »

1 + -2sqrt (3) / 3 พหุนามเป็นแบบต่อเนื่องและมีอนุพันธ์อย่างต่อเนื่องดังนั้น extrema สามารถพบได้โดยการเทียบฟังก์ชันอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์และแก้สมการที่เกิดขึ้น ฟังก์ชันอนุพันธ์คือ 3x ^ 2-6x-1 และนี่มีรูท 1 + -sqrt (3) / 3 อ่านเพิ่มเติม »

จุดเปลี่ยน (extrema ท้องถิ่น) เกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์เช่นเมื่อ f '(x) = 0 นั่นคือเมื่อ 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3) ตั้งแต่อนุพันธ์อันดับสอง f '' (x) = 6x, และ f '' (sqrt (7/3))> 0 และ f '' (- sqrt (7/3)) <0, มันหมายถึง sqrt (7 / 3) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ -sqrt (7/3) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ค่า y ที่สอดคล้องกันอาจพบได้โดยการแทนที่กลับเข้าไปในสมการเดิม กราฟของฟังก์ชันทำการตรวจสอบการคำนวณข้างต้น กราฟ {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} อ่านเพิ่มเติม »

(0,15), (4, -17) extremum ท้องถิ่นหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น 0 ดังนั้นถ้าเราหา f '(x) เราสามารถตั้งค่าให้เท่ากัน ถึง 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x ตั้งค่าเป็น 0 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 ตั้งค่าแต่ละส่วนให้เท่ากับ 0 {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} extrema เกิดขึ้นที่ (0,15) และ (4, -17) ดูพวกเขาบนกราฟ: กราฟ {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42.66, 49.75, -21.7, 24.54]} extrema หรือการเปลี่ยนแปลงในทิศทางอยู่ที่ (0,15) และ (4, - 17) อ่านเพิ่มเติม »

F (x) _max = (1.37, 8.71) f (x) _min = (4.63, -8.71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 สำหรับ maxima ท้องถิ่นหรือ minima: f '(x) = 0 ดังนั้น: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 การใช้สูตรสมการกำลังสอง: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 หรือ 4.633 เพื่อทดสอบสูงสุดในท้องถิ่นหรือต่ำสุด: f '' (1.367) <0 -> Local f สูงสุด '' (4.633)> 0 -> Local ต่ำสุด f (1.367) ~ = 8.71 Local f สูงสุด (4.633) ~ = -8.71 Local ต่ำสุด Local Extrema เหล่านี้สามารถเห็นได้ในกราฟของ f (x) ด้านล่าง กราฟ {x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 [-22 อ่านเพิ่มเติม »

F (x) มีค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่ประมาณ (0.1032, 15.0510) f (x) มีค่าต่ำสุดท้องถิ่นที่ประมาณ (3.2301, -0.2362) f (x) = (x-2) (x ^ 2-2x-5) ใช้กฎผลิตภัณฑ์ f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) ใช้กฎกำลัง f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 สำหรับ extrema ท้องถิ่น '(x) = 0 ดังนั้น 3x ^ 2-10x + 1 = 0 ใช้สูตรสมการกำลังสอง x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 ประมาณ 3.2301 หรือ 0.1032 f '' (x ) = 6x-10 สำหรับค่าสูงสุดในท้องถิ่น f '' <0 ที่จุดสูงสุด สำหรับค่าต่ำสุดในพื้นที่ f '' อ่านเพิ่มเติม »

X_1 = -1 คือค่าสูงสุด x_2 = 1 เป็นค่าต่ำสุดก่อนอื่นหาจุดวิกฤตโดยการหาอนุพันธ์อันดับแรกถึงศูนย์: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 As x! = 0 เราสามารถคูณด้วย x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 ดังนั้น x ^ 2 = 1 ตามที่รูทอื่น ๆ เป็นค่าลบและ x = + - 1 จากนั้นเราจะดูเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0 ดังนั้น: x_1 = -1 คือสูงสุด x_2 = 1 เป็นกราฟขั้นต่ำ {x ^ 3-x + 3 / x [-20, 20, -10, 10] } อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุดในท้องถิ่น ~~ -0.794 (ที่ x ~~ -0.563) และ minima ท้องถิ่นคือ ~~ 18.185 (ที่ x ~~ -3.107) และ ~~ -2.081 (ที่ x ~~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 ตัวเลขสำคัญคือคำตอบ 2x 2x 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0 ฉันไม่มีคำตอบที่แน่นอน แต่การใช้วิธีเชิงตัวเลขจะค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริงคือ: -3.107, - 0.563 และ 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 ใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง: f '' (- 3.107)> 0, ดังนั้น f (-3.107) ~~ 18.185 เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น f '' (- 0.5 อ่านเพิ่มเติม »

(1, e ^ -1) เราจำเป็นต้องใช้กฎผลิตภัณฑ์: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx: f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x): f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1): f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x ที่ขั้นต่ำ / สูงสุด f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 ตอนนี้ e ^ x> 0 AA x ใน RR: f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 ดังนั้นจึงมีจุดเปลี่ยนที่เดียว (1) , e ^ -1) กราฟ {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มี extrema ในเครื่อง f (x) = xlnx-xe ^ x หมายถึง g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x สำหรับ x ที่จะเป็น extremum ท้องถิ่น g (x) ต้อง ศูนย์. ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับมูลค่าที่แท้จริงของ x โปรดทราบว่า g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x ดังนั้น g ^ '(x) จะหายไปถ้า e ^ x = 1 / (x (x + 2)) นี่คือสมการยอดเยี่ยมที่สามารถแก้ไขตัวเลขได้ ตั้งแต่ g ^ '(0) = + oo และ g ^' (1) = 1-3e <0 รากอยู่ระหว่าง 0 และ 1 และตั้งแต่ g ^ {''} (0) <0 สำหรับค่าบวก x ทั้งหมด นี่เป็นเพียงรากเดียวและสอดคล้องกับค่าสูงสุ อ่านเพิ่มเติม »

X_1 = 2.430500874043 และ y_1 = -1.4602879768904 จุดสูงสุด x_2 = -1.0971675407097 และ y_2 = -0.002674986072485 จุดต่ำสุดกำหนดอนุพันธ์ของ f (x) f '(x) = ((x-2) -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ x] ^ 2 ใช้ตัวเศษแล้ว เท่ากับศูนย์ ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 ทำให้ง่ายขึ้น (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 แฟคตอคำทั่วไป (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 ค่าของ x คือ: x = 4 an asymptote x_1 = (4 + sqrt (112)) / 6 = 2.430500874043 ใช้ x_1 เพื่อรั อ่านเพิ่มเติม »

พหุนามมีความแตกต่างได้ทุกที่ดังนั้นมองหาค่าวิกฤตโดยเพียงหาวิธีแก้ปัญหาเพื่อ f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 การใช้พีชคณิตเพื่อแก้สมการกำลังสองอย่างง่ายนี้: x = -1 และ x = 1 / 2 พิจารณาว่าสิ่งเหล่านี้เป็น min หรือ max โดยเสียบเข้ากับอนุพันธ์อันดับสอง: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, ดังนั้น -1 คือค่าสูงสุด f '' (1/2)> 0, ดังนั้น 1/2 จึงเป็นความหวังขั้นต่ำที่ช่วย อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 ฟังก์ชั่นนี้มีเส้นกำกับแนวดิ่งที่ x = 2 เข้าใกล้ 1 จากด้านบนเมื่อ x ไปที่ + oo (แนวนอนแนวนอน) และเข้าใกล้ 1 จากด้านล่างเป็น x ถึง - อนุพันธ์ทั้งหมดไม่ได้กำหนดที่ x = 2 เช่นกัน มีหนึ่ง minima ท้องถิ่นที่ x = 0, y = 0 (ปัญหาทั้งหมดสำหรับต้นกำเนิด!) หมายเหตุคุณอาจต้องการตรวจสอบคณิตศาสตร์ของฉันแม้สิ่งที่ดีที่สุดของเราก็คือใส่เครื่องหมายลบคี่และนี่เป็นคำถามที่ยาวนาน f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 ฟังก์ชั่นนี้มีเส้นกำกับแนวดิ่งที่ x = 2 เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ x = 2 มันเข้าใกล้ 1 จากด้านบนขณะที่ x ไปที่ + oo (เส้นกำกับแนวนอน) และเข้าใกล้ 1 จากด้านล่างขณะที่ x ไปที่ -oo เนื่องจากค่าขนาดใหญ่ x ^ 2 ~ = อ่านเพิ่มเติม »

Bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) นั่นคือเวกเตอร์แทนเจนต์ bb r '(3) = (24, 81) เส้นสัมผัสคือ: bb l (แลมบ์ดา) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + แลมบ์ดา (24, 81) เรา สามารถแยกทิศทางเวกเตอร์ได้เล็กน้อย: bb l (แลมบ์ดา) = (39,81) + แลมบ์ดา (8, 27) อ่านเพิ่มเติม »

ขีด จำกัด คือ 1/5 ได้รับ lim_ (xto0) sinx / (5x) เรารู้ว่าสี (สีน้ำเงิน) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสิ่งที่เราได้รับเป็น: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 อ่านเพิ่มเติม »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C เราได้รับ: int ln (xe ^ x) / (x) dx ใช้ ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx ใช้ ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x (x) ) + xln (e)) / (x) dx ใช้ ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx แยกเศษส่วน (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx การแยกอินทิกรัลรวม: = int ln (x) / xdx + int dx อินทิกรัลที่สองคือ x + C โดยที่ C คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ อินทิกรัลแรกเราใช้การแทนยู: ให้ u equiv ln (x), ดังนั้น du = 1 / x dx การใช้การแทนยู: = int udu + x + C การรวม (ค่าคงที่โดยพล C สามารถดูดซับค่าคงที่ตามอำเภอใจ อินทิกรัลไม่ จำกัด ครั้งแรก: = u ^ 2/2 + x + C แทนกลับ อ่านเพิ่มเติม »

T = 0 และ t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 จุดวิกฤติของฟังก์ชั่นคือที่ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นเป็นศูนย์หรือไม่ได้กำหนด เราเริ่มต้นด้วยการหาอนุพันธ์ เราสามารถทำได้โดยใช้กฎกำลัง: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขจริงทั้งหมดดังนั้น เราจะไม่พบจุดวิกฤตใด ๆ แต่เราสามารถหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันได้: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 การใช้หลักการปัจจัยศูนย์ เราจะเห็นว่า t = 0 เป็นวิธีแก้ปัญหา เราสามารถแก้หาเมื่อปัจจัยสมการกำลังสองเท่ากับศูนย์โดยใช้สูตรสมการกำลังสอง: t = (- 3 + -sqrt (9 + 4)) / 2 = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 อ่านเพิ่มเติม »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C อ่านเพิ่มเติม »

ลำดับมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับ n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n เมื่อ n มีขนาดใหญ่คุณควรจัดการการแสดงออกเพียงเล็กน้อยเพื่อให้คำสั่งดังกล่าวข้างต้นชัดเจน แบ่งคำทั้งหมดด้วย n ^ 5 n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ) ข้อ จำกัด เหล่านี้มีอยู่เมื่อ n-> oo ดังนั้นเราจึงมี: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0 ดังนั้นลำดับจึงมีค่าเป็น 0 อ่านเพิ่มเติม »

X ใน {-3/2, 3/2} คำถามนี้คือคำถามที่ถามว่าเส้นสัมผัสของ y = 1 / x (ซึ่งอาจคิดว่าเป็นความชันตรงจุดแทนเจนต์) ขนานกับ y = -4 / 9x + 7 เมื่อทั้งสองเส้นขนานกันเมื่อพวกเขามีความชันเท่ากันนี่เท่ากับการถามว่า y = 1 / x มีเส้นสัมผัสที่มีความชัน -4/9 ความชันของเส้นสัมผัสแทน y = f (x) ที่ (x_0, f (x_0)) ถูกกำหนดโดย f '(x_0) เมื่อรวมกับข้างต้นนี่หมายความว่าเป้าหมายของเราคือการแก้สมการ f '(x) = -4/9 โดยที่ f (x) = 1 / x การหาอนุพันธ์เรามี f '(x) = d / dx1 / x = -1 / x ^ 2 การแก้, -1 / x ^ 2 = -4/9 => x ^ 2 = 9/4: x = + -3 / 2 อ่านเพิ่มเติม »

F '(x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = วินาที ^ 2x g '(x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - วินาที ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) อ่านเพิ่มเติม »

สี (สีน้ำเงิน) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) หาก: y = ln (x) <=> e ^ y = x ใช้คำจำกัดความนี้สำหรับ ฟังก์ชั่นที่กำหนด: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) ความแตกต่างโดยนัย: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) หารด้วย: สี (สีขาว) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y จากด้านบน: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x): DY / DX = สี (สีฟ้า) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + E ^ (- 3x))) อ่านเพิ่มเติม »

กอทท์ฟรีดวิลเฮล์มไลบนิซเป็นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญา การมีส่วนร่วมของเขามากมายในโลกของคณิตศาสตร์อยู่ในรูปแบบของปรัชญาและตรรกะ แต่เขาเป็นที่รู้จักกันดีกว่ามากในการค้นพบความเป็นเอกภาพระหว่างอินทิกรัลและพื้นที่ของกราฟ เขามุ่งความสนใจไปที่การนำแคลคูลัสเข้าสู่ระบบและประดิษฐ์สัญกรณ์ที่จะกำหนดแคลคูลัสอย่างไม่น่าสงสัย นอกจากนี้เขายังค้นพบความคิดเช่นอนุพันธ์ที่สูงขึ้นและวิเคราะห์ผลิตภัณฑ์และกฎลูกโซ่ในเชิงลึก ไลบนิซส่วนใหญ่ทำงานร่วมกับสัญกรณ์ของเขาเองเช่น: y = x เพื่อแสดงฟังก์ชั่นในกรณีนี้ f (x) เป็นเช่นเดียวกับ y dy / dx เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชั่น intydx เพื่อแสดงปฏิปักษ์ของ a function ตัวอย่างเช่นกฎผลิตภัณฑ์มีลักษณะดังนี้: & อ่านเพิ่มเติม »

เซอร์ไอแซกนิวตันเป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องทฤษฎีแรงโน้มถ่วงและการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ การพัฒนาของเขาในแคลคูลัสคือการหาวิธีที่จะรวมคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของการเคลื่อนไหวของดาวเคราะห์และแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้เขายังแนะนำแนวคิดของกฎผลิตภัณฑ์กฎลูกโซ่ซีรี่ส์เทย์เลอร์และตราสารอนุพันธ์ที่สูงกว่าอนุพันธ์อันดับแรก นิวตันทำงานร่วมกับสัญกรณ์ฟังก์ชั่นเป็นหลักเช่น: f (x) เพื่อแสดงฟังก์ชั่น f '(x) เพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F (x) เพื่อแสดงถึง antiderivative ของฟังก์ชันดังนั้นตัวอย่างเช่นกฎผลิตภัณฑ์ แบบนี้: "ให้" h (x) = f (x) g (x) "แล้ว" h '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) สัญกรณ์นี้อาจสร้างความส อ่านเพิ่มเติม »

ในแง่ของชีวิตจริงความไม่ต่อเนื่องนั้นเทียบเท่ากับการเลื่อนขึ้นดินสอเมื่อคุณวางแผนฟังก์ชั่นกราฟ ดูด้านล่างด้วยความคิดในใจนี้มีความไม่ต่อเนื่องหลายประเภท ความไม่ต่อเนื่องที่หลีกเลี่ยงไม่ได้และความไม่ต่อเนื่องของการข้ามอย่างไม่มีที่สิ้นสุดคุณสามารถดูประเภทนี้ได้ในหน้าอินเทอร์เน็ตหลายหน้า ยกตัวอย่างเช่นนี่เป็นการกระโดดที่ไม่ต่อเนื่อง คณิตศาสตร์สมรู้ร่วมคิดเท่ากับว่า: lim_ (xtox_0) f (x) มีอยู่และเท่ากับ f (x_0) อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นมีความไม่ต่อเนื่องหากไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนสำหรับค่าเฉพาะ (หรือค่า) ความไม่ต่อเนื่องมี 3 ประเภท ได้แก่ อนันต์, จุดและกระโดด ฟังก์ชันทั่วไปจำนวนมากมีความไม่ต่อเนื่องหนึ่งหรือหลายอย่าง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน y = 1 / x นั้นไม่ได้ถูกนิยามไว้อย่างดีสำหรับ x = 0 ดังนั้นเราจึงบอกว่ามันมีความไม่ต่อเนื่องสำหรับค่าของ x ดูกราฟด้านล่าง ขอให้สังเกตว่ามีเส้นโค้งไม่ข้ามที่ x = 0 กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชัน y = 1 / x ไม่มีค่า y สำหรับ x = 0 ในทำนองเดียวกันฟังก์ชั่นธาตุ y = tanx มีความไม่ต่อเนื่องที่ x = pi / 2, (3pi) / 2, (5pi) / 2 ... ความไม่ต่อเนื่องไม่สิ้นสุดเกิดขึ้นในฟังก์ชันที่มีเหตุผลเมื่อตัวส่วนเท่ากับ 0 y = tan x = (sin x) อ่านเพิ่มเติม »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C ตั้งแต่ตัวส่วน ได้รับการแยกตัวประกอบแล้วทั้งหมดที่เราต้องทำในส่วนของเศษส่วนคือแก้หาค่าคงที่: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Axe + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) โปรดทราบว่าเราต้องการทั้ง x และคำคงที่ที่เศษส่วนซ้ายส่วนใหญ่เพราะตัวเศษอยู่ต่ำกว่า 1 องศาเสมอ ตัวส่วน เราสามารถคูณด้วยตัวหารทางซ้าย แต่นั่นเป็นงานจำนวนมากดังนั้นเราจึงสามารถฉลาดและใช้วิธีการปกปิด ฉันจะไม่ไปดูรายละเอียดในกระบวนการ แต่สิ่งที่เราทำคือค้นหาสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ (ในกรณีของ C คือ x = 3) และเสียบเข้าที่ด้านซ้ายมือและประเมิน อ่านเพิ่มเติม »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C ปัญหาใหญ่ของเราในอินทิกรัลนี้คือรากดังนั้นเราจึงต้องการกำจัดมัน เราสามารถทำได้โดยการแนะนำการทดแทน u = sqrt (2x-1) อนุพันธ์คือ (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) ดังนั้นเราจึงหารผ่าน (และจำไว้ว่าการหารด้วยส่วนกลับจะเหมือนกับการคูณด้วยตัวส่วน) เพื่อรวมเข้ากับ u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / ยกเลิก (sqrt (2x-1)) ยกเลิก (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือแสดง x ^ 2 ในแง่ของ u (เนื่องจากคุณไม่สามารถรวม x ที่เกี่ยวข้องกับ u): u = sqrt (2x-1) u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x (u ^ 2 + 1) / 2 = xx ^ 2 = ( อ่านเพิ่มเติม »

C = 2/3 เพื่อให้ f (x) ต่อเนื่องที่ x = 2 สิ่งต่อไปนี้ต้องเป็นจริง: lim_ (x-> 2) f (x) มีอยู่ มีอยู่ f (2) (นี่ไม่ใช่ปัญหาที่นี่เนื่องจาก f (x) ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนที่ x = 2 เรามาตรวจสอบหลักแรกเรารู้ว่าสำหรับการมีอยู่จริงขีด จำกัด ด้านซ้ายและด้านขวามือต้องเท่ากัน ศาสตร์: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) นี่ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมเราสนใจ x = 2 เท่านั้น: มันเป็นเพียงค่าของ x สำหรับ ซึ่งฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดให้เป็นสิ่งต่าง ๆ ทางด้านขวาและด้านซ้ายซึ่งหมายความว่ามีโอกาสที่ขีด จำกัด ของมือซ้ายและขวาอาจไม่เท่ากันเราจะพยายามหาค่าของ 'c' ซึ่งเป็นข้อ จำกัด เหล่านี้ เท่ากับกลับไปที่ฟังก์ชั่นชิ้นส่วนเราจะ อ่านเพิ่มเติม »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) แยกความแตกต่างทั้งสองด้าน จากทฤษฎีบทมูลฐานขั้นที่สองของแคลคูลัสทางด้านซ้ายและกฎของผลิตภัณฑ์และลูกโซ่ทางด้านขวาเราจะเห็นว่าความแตกต่างเผยให้เห็นว่า: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) การให้ x = 2 แสดงให้เห็นว่า f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) รวมคำภายใน int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) ประเมิน (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) ให้ x = 4 (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 f (4) = 0 อ่านเพิ่มเติม »

(C) สังเกตว่าฟังก์ชั่น f สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x_0 ถ้า lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L ข้อมูลที่ได้รับอย่างมีประสิทธิภาพคือ f เป็นอนุพันธ์ที่ 2 และ f '(2) = 5 ทีนี้ดูข้อความ: I: True Differentiability ของฟังก์ชั่น ณ จุดหนึ่งแสดงถึงความต่อเนื่องของมัน ณ จุดนั้น II: True ข้อมูลที่ได้รับตรงกับคำจำกัดความของความแตกต่างที่ x = 2 III: False อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องตัวอย่างคลาสสิกคือ g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x) ถ้า x! = 0), (0 ถ้า x = 0):} ซึ่ง สามารถสร้างความแตกต่างได้ที่ 0 แต่อนุพันธ์มีความไม่ต่อเนื่องที่ 0 อ่านเพิ่มเติม »

Y = -48x - 79 เส้นสัมผัสแทนกราฟ y = f (x) ที่จุด (x_0, f (x_0)) คือเส้นที่มีความชัน f '(x_0) และผ่าน (x_0, f (x_0)) . ในกรณีนี้เราจะได้รับ (x_0, f (x_0)) = (-2, 17) ดังนั้นเราต้องคำนวณ f '(x_0) เป็นความชันแล้วจึงเสียบมันเข้ากับสมการความชันของเส้นตรง การคำนวณอนุพันธ์ของ f (x) เราจะได้ f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 ดังนั้นเส้นสัมผัสมีความชัน -48 และผ่าน (-2, 17) ดังนั้นมันคือสมการคือ y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = x เราหาฟังก์ชั่น f: RR rarr RR เช่นนั้น f (x) = f ^ (- 1) (x) (x) นั่นคือการแสวงหาฟังก์ชั่นนั่นคือสิ่งที่ตรงกันข้าม หน้าที่หนึ่งที่เห็นได้ชัดคือการแก้ปัญหาเล็กน้อย: f (x) = x อย่างไรก็ตามการวิเคราะห์อย่างละเอียดมากขึ้นของปัญหามีความซับซ้อนที่สำคัญตามการสำรวจโดย Ng Wee Leng และ Ho Foo เขาตามที่ตีพิมพ์ในวารสารสมาคมครูคณิตศาสตร์ . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf อ่านเพิ่มเติม »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + a x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( ยกเลิก (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((ยกเลิก (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "ตอนนี้เติม x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "เรายังสามารถใช้กฎ l 'Hôpital:" "การได้รับตัวเศษและตัวส่วน:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "ตอนนี้เติม x = a:" "= 3 / (4a) อ่านเพิ่มเติม »

เราเริ่มต้นด้วยการสร้างความแตกต่างโดยใช้กฎผลิตภัณฑ์และกฎลูกโซ่ ให้ y = u ^ (1/2) และ u = x y '= 1 / (2u ^ (1/2)) และ u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) ตอนนี้ตามกฎผลิตภัณฑ์ f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ จุดใดก็ตามที่กำหนดบนฟังก์ชันถูกกำหนดโดยการประเมิน x = a ลงในอนุพันธ์ คำถามบอกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ x = 3 เป็นสองเท่าของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ x = c ลำดับแรกของธุรกิจของเราคือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ x = 3 rc = 5 / (4sqrt (3)) อัตราการเปลี่ยนแปลงที่ x = c นั้นคือ 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqrt (3)) 5 / (2sqrt (3)) = 5 / (4sqrt (x)) 2 อ่านเพิ่มเติม »

-1.11164 "นี่คือส่วนสำคัญของฟังก์ชันเหตุผล" "ขั้นตอนมาตรฐานกำลังแยกส่วนที่เป็นเศษส่วน" "ก่อนอื่นเราค้นหาค่าศูนย์ของส่วน:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1, หรือ 4 "ดังนั้นเราแบ่งเป็นเศษส่วนบางส่วน:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "ดังนั้นเราจึงมี" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + (3/4) ln (| x-4 |) + C "ตอน อ่านเพิ่มเติม »

แทนเจนต์คือ 25x-9y + 54 = 0 และ y = x + 6 ให้ความชันของแทนเจนต์เป็น m สมการของแทนเจนต์แล้วก็คือ y-6 = mx หรือ y = mx + 6 ทีนี้เรามาดูจุดตัดของแทนเจนต์นี้แล้วรับ y = (x + 2) / (x + 3) สำหรับการวาง y = mx + 6 ในสิ่งนี้เราจะได้ mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) หรือ (mx +6) (x + 3) = x + 2 นั่นคือ mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 หรือ mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 นี่ควรให้ค่าสองค่าของ x คือจุดตัดสองจุด แต่แทนเจนต์ตัดเส้นโค้งที่จุดเดียวเท่านั้น ดังนั้นถ้า y = mx + 6 เป็นแทนเจนต์เราควรมีเพียงรากเดียวสำหรับสมการกำลังสองซึ่งเป็นไปได้ onli ถ้า discriminant เป็น 0 คือ (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 หรือ 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 หรือ 9m ^ 2-34 อ่านเพิ่มเติม »

มันมีจุดวิกฤติเฉพาะสำหรับ k> 0 ก่อนอื่นลองคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกของ h (x) h ^ (นายก) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k ทีนี้เพื่อให้ x_0 เป็นจุดวิกฤตของ h มันจะต้องเชื่อฟังเงื่อนไข h ^ (นายก) (x_0) = 0, หรือ: h ^ (นายก) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) ตอนนี้ลอการิทึมธรรมชาติของ k เป็นเพียง กำหนดไว้สำหรับ k> 0 ดังนั้น h (x) มีจุดวิกฤติสำหรับค่า k> 0 เท่านั้น อ่านเพิ่มเติม »

ลองเรียกความยาวของด้าน N และ S x (ฟุต) และอีกสองเราจะเรียก y (เป็นฟุต) จากนั้นค่าใช้จ่ายของรั้วจะเป็น: 2 * x * $ 10 สำหรับ N + S และ 2 * y * $ 15 สำหรับ E + W จากนั้นสมการสำหรับค่าใช้จ่ายทั้งหมดของรั้วจะเป็น: 20x + 30y = 480 เราแยก y: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x พื้นที่: A = x * y แทน y ในสมการที่เราได้รับ: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 เพื่อหาค่าสูงสุดเราต้องแยกความแตกต่างของฟังก์ชันนี้แล้วตั้งค่าอนุพันธ์เป็น 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 ซึ่งแก้ปัญหาสำหรับ x = 12 การแทนที่ในสมการก่อนหน้านี้ y = 16-2 / 3 x = 8 คำตอบ: ด้าน N และ S คือ 12 ฟุต ด้าน E และ W กว้าง 8 ฟุตพื้นที่คือ 96 ตารางฟุต อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = (3 วินาที ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) กฎลูกโซ่: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g '(x) แยกความแตกต่างของฟังก์ชั่นภายนอกออกจากข้างในโดยลำพังแล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นด้านใน y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sec ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = วินาที ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1 ) ^ (1/2) = วินาที ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = วินาที ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 วินาที ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) อ่านเพิ่มเติม »

1 f (n) = n ^ (1 / n) หมายถึงบันทึก (f (n)) = 1 / n บันทึก n ตอนนี้ lim_ {n -> oo} บันทึก (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) บันทึก n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 ตั้งแต่บันทึก x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเรามีการบันทึก (lim_ {n ถึง oo} f (n)) = lim_ {n to oo} บันทึก (f (n)) = 0 หมายถึง lim_ {n ถึง oo} f (n) = e ^ 0 = 1 อ่านเพิ่มเติม »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 เราแสวงหา: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) เมื่อเราประเมินค่า จำกัด เราดูพฤติกรรมของฟังก์ชัน "ใกล้" จุดไม่จำเป็นว่าพฤติกรรมของฟังก์ชั่น "ที่" จุดที่เป็นคำถามดังนั้นในฐานะที่เป็น x rarr 0 เราไม่จำเป็นต้องพิจารณาสิ่งที่ เกิดขึ้นที่ x = 0 ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ที่น่ารำคาญ: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 เพื่อความชัดเจนกราฟของฟังก์ชันในการมองเห็นพฤติกรรมรอบ ๆ x = 0 กราฟ {sin (1 / x) / sin (1 / x) [-10, 10, -5, 5]} มันควรจะชัดเจนว่า ฟังก์ชัน y = sin (1 / x) / sin (1 / x) ไม่ได้ถูกกำหนดที่ x = 0 อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มีขีด จำกัด เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ข้อโต้แย้ง, pi / (x-1) ใช้กับค่า pi / 2 + 2pik และ (3pi) / 2 + 2pik บ่อยครั้งอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้นบาป (pi / (x-1)) รับค่า -1 และ 1 หลายครั้งอย่างไม่ จำกัด ค่าไม่สามารถเข้าใกล้หมายเลข จำกัด เดียว กราฟ {sin (pi / (x-1)) [-1.796, 8.07, -1.994, 2.94]} อ่านเพิ่มเติม »

"ดูคำอธิบาย" "ใช้คำจำกัดความของ | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "ได้รับมาแล้ว:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "ดังนั้นเราจะเห็นว่ามีความไม่ต่อเนื่องใน x = 0 สำหรับ f' (x)" "ที่เหลือก็แตกต่างกันไปทุกหนทุกแห่ง" อ่านเพิ่มเติม »

Telescoping ซีรี่ส์ 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))) Sigma (1) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) นี่คือซีรีส์ที่ยุบ (เหลื่อม) เทอมแรกคือ -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 อ่านเพิ่มเติม »

การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองแสดงให้เห็นว่าจำนวนวิกฤต (จุด) x = 4/7 ให้ค่าต่ำสุดในระดับท้องถิ่นสำหรับ f ในขณะที่ไม่ได้พูดถึงลักษณะของ f ที่จำนวนวิกฤต (คะแนน) x = 0,1 ถ้า f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 กฎผลิตภัณฑ์บอกว่า f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) ตั้งค่านี้ให้เท่ากับศูนย์และแก้หา x หมายความว่า f มีจำนวนวิกฤต (คะแนน) ที่ x = 0,4 / 7,1 การใช้กฎผลิตภัณฑ์ให้อีกครั้ง: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 = x ^ 2 * (x -1) * ((3x-3 + 2x) * อ่านเพิ่มเติม »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) อนุญาต: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) หากไม่ชัดเจนเกี่ยวกับเอฟเฟกต์ตัวเลือกที่ดีที่สุด เพื่อขยายข้อสรุปบางประการของการรวม: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ... } = {0a_0x ^ (1) ) + 1a_1x ^ 2 +2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ... } จากนั้นเราสามารถใส่ชุดกลับเข้าไปในเครื่องหมาย "sigma": S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) อ่านเพิ่มเติม »

V = 8pi หน่วยเสียงปัญหาที่คุณมีอยู่คือ: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx โปรดจำไว้ว่าปริมาตรของของแข็งนั้นให้โดย: V = piint (f (x)) ^ 2 dx ดังนั้น, Intergral ดั้งเดิมของเราสอดคล้อง: V = piint_0 ^ 4 (x) dx ซึ่งจะเท่ากับ: V = pi [x ^ 2 / (2)] ระหว่าง x = 0 เป็นขีด จำกัด ล่างของเราและ x = 4 เป็นขีด จำกัด บนของเรา การใช้ทฤษฎีพื้นฐานของแคลคูลัสเราแทนที่ข้อ จำกัด ของเราในการแสดงออกเชิงบูรณาการของเราเป็นลบขีด จำกัด ล่างจากขีด จำกัด บน V = pi [16 / 2-0] V = 8pi หน่วยเสียง อ่านเพิ่มเติม »

ขีด จำกัด ช่วยให้เราตรวจสอบแนวโน้มของฟังก์ชั่นรอบ ๆ จุดที่กำหนดแม้ว่าจะไม่ได้กำหนดฟังก์ชั่นที่จุดนั้น ให้เราดูฟังก์ชั่นด้านล่าง f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ x = 1, f (1) ไม่ได้ถูกกำหนด อย่างไรก็ตามขีด จำกัด ของมันที่ x = 1 มีอยู่และบ่งชี้ว่าค่าฟังก์ชั่นเข้าใกล้ 2 ที่นั่น lim_ {x ถึง 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x ถึง 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = Lim_ {x ถึง 1 } (x + 1) = 2 เครื่องมือนี้มีประโยชน์อย่างมากในแคลคูลัสเมื่อความชันของเส้นสัมผัสเป็นค่าประมาณโดยความชันของเส้นตัดเส้นตัดที่มีจุดตัดใกล้ซึ่งจะกระตุ้นนิยามของอนุพันธ์ อ่านเพิ่มเติม »

สี (สีน้ำเงิน) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) เราจำเป็นต้องแยกความแตกต่างนี้โดยปริยายเพราะเราไม่มีฟังก์ชั่นในแง่ของตัวแปรเดียว เมื่อเราแยกแยะความแตกต่าง y เราใช้กฎลูกโซ่: d / dy * dy / dx = d / dx เป็นตัวอย่างถ้าเรามี: y ^ 2 นี่จะเป็น: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx ในตัวอย่างนี้เราต้องใช้กฎผลิตภัณฑ์ในคำ xy ^ 2 กำลังเขียน sqrt (y) เป็น y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 ความแตกต่าง: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^ (- 1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2 ปัจจัยออกไป dy / dx: dy / dx (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) = - y ^ 2 หารด้วย (1 / 2y ^ (- 1/2) + 2xy) dy / dx = (- y ^ 2 ) / ((1 / 2y อ่านเพิ่มเติม »

V = 685 / 32pi ลูกบาศก์หน่วยขั้นแรกให้วาดกราฟ y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-intercept y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 และเรามี {(x = 0), (x = 1):} ดังนั้น intercepts จึงเป็น (0,0) และ (1,0) รับจุดสุดยอด: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 ดังนั้นจุดยอดจึงอยู่ที่ (1/2, -1 / 4) ทำซ้ำก่อนหน้านี้: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 และเรามี {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} ดังนั้นการสกัดกั้นคือ (sqrt (3), 0) และ (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 ดังนั้นจุดสุดยอดอยู่ที่ (0,3) ผลลัพธ์: วิธีการรับระดับเสียง เราจะใช้วิธีแผ่นดิสก์! วิธีนี้เป็นเพียงแค่: "Volume" = piint_a ^ โด อ่านเพิ่มเติม »

จุดที่ inflexion คือ: ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - อันดับแรกเราต้องหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันของเรา 2 - สองเราเปรียบเสมือนอนุพันธ์ ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) ถึงศูนย์ y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx ถัดไป, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 ทีนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าในรูปแบบ Rcos (x + lamda) ที่แลมบ์ดาเป็นมุมแหลมและ R คือ จำนวนเต็มบวกที่จะได้รับการพิจารณา เช่นนี้ sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda โดยการเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของ sinx และ cosx ที่ด้านข้างของสมการ => Rcoslamda = 1 และ อ่านเพิ่มเติม »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c สำหรับปัญหานี้เพื่อให้เข้าใจ 4-9x ^ 2> = 0 ดังนั้น -2/3 <= x <= 2/3 ดังนั้นเราสามารถเลือก 0 <= u <= pi ซึ่ง x = 2 / 3cosu การใช้สิ่งนี้เราสามารถรองรับตัวแปร x ในอินทิกรัลได้โดยใช้ dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu ที่นี่เราใช้ 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u และนั่นสำหรับ 0 <= u <= pi sinu> = 0 ตอนนี้เราใช้การรวมเป็นส่วน ๆ เพื่อค้นหา intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-in อ่านเพิ่มเติม »

ก่อนอื่นเราต้องจัดการกับการแสดงออกเพื่อให้มันอยู่ในรูปแบบที่สะดวกยิ่งขึ้นลองทำนิพจน์ (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4-h ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) การ จำกัด ตอนนี้เมื่อ h-> 0 เรามี: lim_ (h-> 0 ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 อ่านเพิ่มเติม »

1 / (sqrt2) สีน้ำตาล ^ -1 ((Tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) LN | (Tanx-sqrt (2tanx) +1) / (Tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C เราเริ่มต้นด้วยการทดแทน u- ด้วย u = sqrt (tanx) อนุพันธ์ของ u คือ: (du) / dx = (วินาที ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) ดังนั้นเราหารด้วย ที่จะรวมเข้าด้วยกันด้วยความเคารพต่อคุณ (และจำไว้ว่าการหารด้วยเศษส่วนจะเหมือนกับการคูณด้วยส่วนกลับของมัน): int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) ) / sec ^ 2x du = = int 2 / วินาที ^ 2x du เนื่องจากเราไม่สามารถรวม x's เข้ากับ u เราจึงใช้ข้อมูลเฉพาะตัวต่อไปนี้: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 สิ่งนี้ให้: int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + อ่านเพิ่มเติม »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) ในกรณีนี้: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xxx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) อ่านเพิ่มเติม »

ขั้นตอนที่หนึ่งคือการเขียนฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลังแบบมีเหตุผล f (x) = sin (x) ^ {1/2} หลังจากคุณแสดงออกในรูปแบบนั้นคุณสามารถแยกความแตกต่างโดยใช้กฎลูกโซ่: ในกรณีของคุณ: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) จากนั้น 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) ซึ่งเป็นของคุณ ตอบ อ่านเพิ่มเติม »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) ฉันสมมติว่าคุณต้องการหา (dy) / (dx) สำหรับสิ่งนี้เราต้องใช้นิพจน์สำหรับ y ในรูปของ x เราทราบว่าปัญหานี้มีวิธีแก้ไขปัญหาต่าง ๆ เนื่องจาก tan (x) เป็นฟังก์ชันตามรอบเวลา tan (x-y) = x จะมีวิธีแก้ไขหลายวิธี อย่างไรก็ตามเนื่องจากเราทราบระยะเวลาของฟังก์ชันแทนเจนต์ (pi) เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: xy = tan ^ (- 1) x + npi โดยที่ tan ^ (- 1) เป็นฟังก์ชันผกผันของค่าแทนเจนต์ที่ให้ค่าระหว่าง -pi / 2 และ pi / 2 และปัจจัย npi ได้รับการเพิ่มในบัญชีสำหรับช่วงเวลาของการสัมผัสกัน นี่ให้เรา y = x-tan ^ (- 1) x-npi ดังนั้น (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x, โปรดทราบว่าปัจจัย npi หายไป ตอนนี้เราต้องหา d / ( อ่านเพิ่มเติม »

Y = -2x + pi / 2 เพื่อหาสมการของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง y = cos (2x) ที่ x = pi / 4 เริ่มต้นด้วยการหาอนุพันธ์ของ y (ใช้กฎลูกโซ่) y '= - 2sin (2x) ตอนนี้เสียบค่าของคุณสำหรับ x เป็น y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 นี่คือความชันของเส้นสัมผัสที่ x = pi / 4 ในการหาสมการของเส้นสัมผัสเราต้องการค่าสำหรับ y เพียงแค่เสียบค่า x ของคุณลงในสมการดั้งเดิมสำหรับ y y = cos (2 * pi / 4) y = 0 ใช้รูปแบบความชันพอยต์เพื่อหาสมการของเส้นสัมผัส: y-y_0 = m (x-x_0) โดยที่ y_0 = 0, m = -2 และ x_0 = pi / 4 สิ่งนี้ทำให้เรา: y = -2 (x-pi / 4) ลดความซับซ้อน, y = -2x + pi / 2 หวังว่าจะช่วยได้! กราฟ {(y-cos (2x)) (y + 2x-pi / 2) = 0 [-2.5, 2.5, -1.25, อ่านเพิ่มเติม »

อินทิกรัล จำกัด ช่วงเวลา [a, b] ของ f ถูกกำหนดในขั้นต้นสำหรับฟังก์ชัน f ที่รวม [a, b] ในโดเมน นั่นคือ: เราเริ่มต้นด้วยฟังก์ชั่น f ที่กำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมดใน [a, b] อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมขยายคำจำกัดความเริ่มต้นโดยอนุญาตให้ a หรือ b หรือทั้งสองอยู่นอกโดเมนของ f (แต่บน 'edge' เพื่อให้เราสามารถหาข้อ จำกัด ) หรือหาช่วงเวลาที่จะขาดจุดสิ้นสุดด้านซ้ายและ / หรือด้านขวา (ช่วงเวลาไม่มีที่สิ้นสุด) ตัวอย่าง: int_0 ^ 1 lnx dx สี (สีขาว) "sssssssssss" รวมและไม่ได้กำหนดไว้ที่ 0 int_5 ^ 7 1 / (x ^ 2-25) สี dx (สีขาว) "ssssss" รวมและไม่ได้กำหนดไว้ที่ 5 int_1 ^ oo 1 / x ช่วงสี "sssssssssss" ^ 2 dx (สี อ่านเพิ่มเติม »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) ฉันอ้างถึง http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? answerSuccess = 1 ซึ่งเราพบว่าได้รับ x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (ฉันได้แทนที่ y ด้วย u เพื่อความสะดวก) นี่หมายความว่าหากเราแทนที่คุณด้วย -y เราจะพบว่าสำหรับ x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) ดังนั้น (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) อ่านเพิ่มเติม »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root (3x3-1)) + C เรามี int root3x / (root3x-1) dx ทดแทน u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (U + 1) ^ 3) / Udu = 3int (U ^ 3 + 3U ^ 2 + 3U + 1) / Udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 +9u +3ln (abs (u)) + C Resubstitute u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (เอบีเอส (root3x-1)) + C อ่านเพิ่มเติม »

DY / DX = csin (cx) cos (x) บาป ^ (c-1) (x) + csin ^ ค (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) บาป (cx + x) สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด y = f (x) = uv โดยที่ u และ v เป็นฟังก์ชันทั้งสองของ x เราจะได้: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ ค (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) บาป (cx + x) อ่านเพิ่มเติม »

เมื่อ cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 เราได้รับ f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) จุดวิกฤติเกิดขึ้นเมื่อ (delf (x, y)) / (delx) = 0 และ (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) sin (y) x) + cos (y) cos (x) + E ^ xtan (y) e-^ xsec ^ 2 (y) = cos (XY) + E ^ x (สีน้ำตาล (y) -sec ^ 2 (y)) = cos (XY) + E ^ x (สีน้ำตาล (y) - (1 + น้ำตาล ^ 2 (y))) = cos (XY) + E ^ x (-tan ^ 2 (y) + น้ำตาล (y) -1) ไม่มีวิธีที่แท้จริงในการหาวิธีแก้ไข แต่จุดวิกฤติเกิดขึ้นเมื่อ cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = lnx + 1 เราแบ่งความไม่เท่าเทียมกันออกเป็น 2 ส่วน: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) ลองดู (1) : เราจัดเรียงใหม่เพื่อรับ f (x)> = lnx + 1 ลองดูที่ (2): เราถือว่า y = x / e และ x = ye เรายังคงตอบสนองเงื่อนไข y ใน (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx ดังนั้น f (y) = f (x) จากผลลัพธ์ 2 รายการ f (x) = lnx + 1 อ่านเพิ่มเติม »

กฎพลังงาน: ถ้า f (x) = x ^ n แล้ว f '(x) = nx ^ (n-1) กฎรวม: ถ้า f (x) = g (x) + h (x) แล้ว f' (x) = g '(x) + h' (x) กฎผลิตภัณฑ์: ถ้า f (x) = g (x) h (x) ดังนั้น f '(x) = g' (x) h (x) h (x) + g (x) h '(x) กฎความฉลาด: ถ้า f (x) = g (x) / (h (x)) ดังนั้น f' (x) = (g '(x) h (x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 กฎลูกโซ่: ถ้า f (x) = h (g (x)) ดังนั้น f '(x) = h' (g (x)) g '(x) หรือ: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation กฎ อ่านเพิ่มเติม »

E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ OO (-2) ^ n / (n) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 .. กรณีของชุดเทย์เลอร์ขยายตัวประมาณ 0 เรียกว่าชุด Maclaurin สูตรทั่วไปสำหรับซีรีย์ Maclaurin คือ: f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n เพื่อหาซีรีย์สำหรับฟังก์ชั่นของเราเราสามารถเริ่มด้วยฟังก์ชันสำหรับ e ^ x จากนั้นใช้เพื่อหาสูตรสำหรับ e ^ (- 2x) ในการสร้างซีรี่ส์ Maclaurin เราจำเป็นต้องหาอนุพันธ์อันดับที่ n ของ e ^ x ถ้าเราใช้อนุพันธ์สองสามอันเราสามารถเห็นรูปแบบได้อย่างรวดเร็ว: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x อันที่จริงอนุพันธ์อันดับที่ n ของ e ^ x เป็นเพียง e ^ x เราสามารถเสียบมันเข้ากับสูตร Mac อ่านเพิ่มเติม »

ขีดความสามารถในการรองรับของสปีชีส์คือจำนวนประชากรสูงสุดของสปีชีส์นั้นที่สภาพแวดล้อมสามารถดำรงอยู่ได้ไม่ จำกัด โดยให้ทรัพยากรที่มีอยู่ มันทำหน้าที่เป็นขีด จำกัด บนของฟังก์ชั่นการเติบโตของประชากร บนกราฟสมมติว่าฟังก์ชันการเติบโตของประชากรถูกอธิบายด้วยตัวแปรอิสระ (โดยปกติคือ t ในกรณีของการเติบโตของประชากร) บนแกนนอนและตัวแปรตาม (ประชากรในกรณีนี้ f (x) บนแกนตั้ง กำลังการผลิตจะเป็นเส้นกำกับแนวนอน ตามปกติของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นยกเว้นกรณีที่รุนแรงประชากรจะไม่เกินขีดความสามารถ อย่างไรก็ตามสถานการณ์ที่รุนแรงบางอย่าง (เช่นการไหลบ่าเข้ามาอย่างฉับพลันของสมาชิกจำนวนมากจากพื้นที่ภายนอกพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงของวัฏจักรธรรมชาติบางอย่าง) อาจท อ่านเพิ่มเติม »

1/2 [-ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C ก่อนอื่นเราแทนที่: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du ดำเนินการ การทดแทนที่สอง: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 ตอนนี้เรามี: -1 / อ่านเพิ่มเติม »

ในหนังสือเรียนฉันใช้ (แคลคูลัสสจ๊วต) จุดวิกฤติของ f = จำนวนวิกฤติสำหรับ f = ค่าของ x (ตัวแปรอิสระ) ที่ 1) ในโดเมนของ f โดยที่ f 'เป็น 0 หรือไม่มีอยู่จริง (ค่าของ x ที่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) จุดผันสำหรับ f คือจุดบนกราฟ (มีทั้งพิกัด x และ y) ที่การเปลี่ยนแปลงของเว้า (คนอื่นดูเหมือนจะใช้คำศัพท์อื่น ๆ ฉันไม่รู้ว่าพวกเขาเข้าใจผิดหรือเพิ่งมีคำศัพท์ต่างกัน .. แต่ตำราที่ฉันใช้ในสหรัฐอเมริกาตั้งแต่ 80 ต้น ๆ ได้ใช้คำจำกัดความนี้ทั้งหมด) อ่านเพิ่มเติม »

ฉันจะบอกว่าฟังก์ชั่นไม่ต่อเนื่องที่ a ถ้ามันต่อเนื่องใกล้กับ (ในช่วงเวลาเปิดที่มี a) แต่ไม่ใช่ที่ แต่มีคำจำกัดความอื่น ๆ ที่ใช้งานอยู่ ฟังก์ชั่น f นั้นต่อเนื่องที่หมายเลข a หากว่า: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) สิ่งนี้ต้องการ: 1 "" f (a) ต้องมีอยู่ (a อยู่ในโดเมน f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) ต้องมีอยู่ 3 ตัวเลขใน 1 และ 2 จะต้องเท่ากัน โดยทั่วไปแล้ว: ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ a ดังนั้น f จะไม่ต่อเนื่องที่ a บางคนจะบอกว่า f ไม่ต่อเนื่องที่ a ถ้า f ไม่ต่อเนื่องที่ผู้อื่นจะใช้ "ไม่ต่อเนื่อง" เพื่อหมายถึงสิ่งที่แตกต่างจาก "ไม่ต่อเนื่อง" ข้อกำหนดเพิ่มเติมที่เป็นไปได้หนึ่งคือ f ถูกกำหนด "ใกล้ อ่านเพิ่มเติม »

Pi / 4 ความยาวส่วนโค้งของ f (x), x ใน [ab] มอบให้โดย: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 เนื่องจากเราเพิ่งมี y = 0 เราสามารถใช้ความยาวของเส้นตรงระหว่าง 0 ถึง pi / 4 ซึ่งเป็น pi / 4- 0 = pi / 4 อ่านเพิ่มเติม »

มันคือ (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 วิธี f (x) = sin ^ 7 (x) มันมีประโยชน์มากที่จะเขียนสิ่งนี้ใหม่เป็น f (x) = (sin (x)) ^ 7 เพราะสิ่งนี้ทำให้ชัดเจนว่าสิ่งที่เรามีคือฟังก์ชั่นพลังงาน 7 ^ (th) ใช้กฎพลังงานและกฎลูกโซ่ (ชุดนี้มักจะเรียกว่ากฎพลังงานทั่วไป) สำหรับ f (x) = (g (x)) ^ n อนุพันธ์คือ f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), ในรูปแบบอื่น ๆ d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) ในกรณีใดกรณีหนึ่งสำหรับคำถามของคุณ f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) คุณสามารถเขียน f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) ที่ x = - pi / 3 เรามี f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 เรารู้ว่า int1 / xdx = lnx + C ดังนั้น: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C ดังนั้น f ( x) = LN (x + 3) + C เราจะได้รับเงื่อนไขเริ่มต้น f (2) = 1 การทดแทนที่จำเป็นเรามี: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C ตอนนี้เราสามารถเขียน f (x) เป็น f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5 และนั่นคือคำตอบสุดท้ายของเรา หากคุณต้องการคุณสามารถใช้คุณสมบัติบันทึกธรรมชาติต่อไปนี้เพื่อลดความซับซ้อน: lna-lnb = ln (a / b) การนำสิ่งนี้ไปใช้กับ ln (x + 3) -ln5 เราได้รับ ln ((x + 3) / 5) ดังนั้นเราสามารถแสดงคำตอบของเราเพิ่มเติมได้ในฐานะ f (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 อ่านเพิ่มเติม »