แคลคูลัส

จำนวน extrema สัมพัทธ์ไม่มีที่สิ้นสุดอยู่บน x ใน [-1 / pi, 1 / pi] อยู่ที่ f (x) = + - 1 ก่อนอื่นขอปลั๊กจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา [-1 / pi, 1 / pi] เข้า ฟังก์ชั่นเพื่อดูพฤติกรรมที่สิ้นสุด f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 ถัดไปเราจะกำหนดจุดวิกฤติโดยการตั้งค่าอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) บาป (1 / x) - บาป (1 / x) 1 / xcos 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2 2 ) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 น่าเสียดายที่เมื่อคุณสร้างกราฟของสมการสุดท้ายนี้คุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้เนื่องจากกราฟของอนุพันธ์มีจำนวนรากที่ไม่สิ้นสุดฟังก์ชันดั้งเดิมจึงมีจำนวนอนันต์ของ Extrema ท้องถิ่น สิ่งนี้สามารถเห็นได้ด้วยการดูกราฟของฟังก อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดคือ 0 ที่ x = 0 และค่าสูงสุดคือ 4 ^ 4 / e ^ 4 ที่ x = 4 ให้สังเกตก่อนว่าใน [0, oo) f จะไม่เป็นลบ นอกจากนี้ f (0) = 0 ดังนั้นต้องเป็นค่าต่ำสุด f '(x) = (x ^ 3 (4-x)) / e ^ x ซึ่งเป็นค่าบวกที่ (0,4) และค่าลบที่ (4, oo) เราสรุปได้ว่า f (4) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากฟังก์ชันไม่มีจุดวิกฤติอื่น ๆ ในโดเมนค่าสูงสุดสัมพัทธ์นี้จึงเป็นค่าสูงสุดแน่นอน อ่านเพิ่มเติม »

Y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 2 +5) ^ 2 - 2 (-x ^ 2 + 5) (x ^ 2 + 5) (2x)) / ((x ^ 2 +5) ^ 2) ^ 2 y '= (-2x (x ^ 4 + 10x +25) - 4x (-x ^ 4 - ยกเลิก (5x ^ 2) + ยกเลิก (5x ^ 2) + 25)) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y '= (-2x ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x) / ((x ^ 2 +5) ^ 4 y' = (2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x) / (( x ^ 2 +5) ^ 4 อ่านเพิ่มเติม »

ค่าสัมบูรณ์สูงสุด: x = pi / 8 ค่าสัมบูรณ์แบบสัมบูรณ์ อยู่ที่จุดสิ้นสุด: x = 0, x = pi / 4 ค้นหาอนุพันธ์แรกโดยใช้กฎลูกโซ่: Let u = 2x; u '= 2 ดังนั้น y = sinu + cos uy' = (cosu) u '- (sinu) u' = 2cos2x - 2sin2x ค้นหาจำนวนวิกฤตโดยการตั้งค่า y '= 0 และปัจจัย: 2 (cos2x-sin2x) = 0 เมื่อ cosu = sinu ทำอะไร? เมื่อ u = 45 ^ @ = pi / 4 ดังนั้น x = u / 2 = pi / 8 ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง: y '' = -4sin2x-4cos2x ตรวจสอบว่าคุณมีค่าสูงสุดที่ pi / 8 โดยใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่ 2 หรือไม่ : y '' (pi / 8) ~~ -5.66 <0 ดังนั้น pi / 8 จึงเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วงเวลา ตรวจสอบจุดสิ้นสุด: y (0) = 1; y (pi อ่านเพิ่มเติม »

ขั้นต่ำ: f (x) = -6.237 ที่ x = 1.147 สูงสุด: f (x) = 16464 ที่ x = 7 เราถูกขอให้ค้นหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดทั่วโลกสำหรับฟังก์ชันในช่วงที่กำหนด ในการทำเช่นนั้นเราจำเป็นต้องค้นหาจุดวิกฤติของการแก้ปัญหาซึ่งสามารถทำได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับแรกและแก้หา x: f '(x) = 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147 ซึ่งเกิดขึ้นเป็นเพียงจุดวิกฤติเท่านั้น ในการค้นหา global extrema เราต้องค้นหาค่าของ f (x) ที่ x = 0, x = 1.147 และ x = 7 ตามช่วงที่กำหนด: x = 0: f (x) = 0 x = 1.147 : f (x) = -6.237 x = 7: f (x) = 16464 ดังนั้น extrema สัมบูรณ์ของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา x ใน [0, 7] เป็นขั้นต่ำ: f (x) = -6.237 ที่ x = 1.147 สูงสุด : f (x) = 16464 ท อ่านเพิ่มเติม »

ไม่สูงสุด ขั้นต่ำคือ 0 ไม่มากที่สุดเท่ากับ xrarr0, sinxrarr0 และ lnxrarr-oo ดังนั้น lim_ (xrarr0) abs (sinx + lnx) = oo ดังนั้นจึงไม่มีค่าสูงสุด ไม่มีขั้นต่ำให้ g (x) = sinx + lnx และทราบว่า g นั้นต่อเนื่องใน [a, b] สำหรับ a และ b ที่เป็นบวกใด ๆ g (1) = sin1> 0 "" และ "" g (e ^ -2) = sin (e ^ -2) -2 <0 g จะต่อเนื่องใน [e ^ -2,1] ซึ่งเป็นส่วนย่อยของ (0,9]. โดยทฤษฎีบทค่ากลาง, g มีค่าศูนย์ใน [e ^ -2,1] ซึ่งเป็นเซตย่อยของ (0,9]. หมายเลขเดียวกันคือศูนย์สำหรับ f (x) = abs ( sinx + lnx) (ซึ่งจะต้องไม่เป็นลบสำหรับ x ทั้งหมดในโดเมน) อ่านเพิ่มเติม »

X = ln (5) และ x = ln (30) ฉันเดาว่า extrema แบบสัมบูรณ์คือ "ที่ใหญ่ที่สุด" หนึ่ง (min ที่เล็กที่สุดหรือ max ที่ใหญ่ที่สุด) คุณต้องการ f ': f' (x) = (xcos (x) e ^ x - sin (x) (e ^ x + xe ^ x)) / (xe ^ x) ^ 2 f '(x) = (xcos (x) - sin (x) (1 + x)) / (x ^ 2e ^ x) AAx ใน [ln (5), ln (30)], x ^ 2e ^ x> 0 เราต้องมีเครื่องหมาย (xcos ( x) - sin (x) (1 + x)) เพื่อให้รูปแบบของ f AAx ใน [ln (5), ln (30)], f '(x) <0 ดังนั้น f จะลดลงอย่างต่อเนื่องใน [ln (5), ln (30)] มันหมายความว่า extremas มันอยู่ที่ ln (5) & ln (30) ค่าสูงสุดของมันคือ f (ln (5)) = sin (ln (5)) / (ln (25)) และ min ของมันคือ f (ln (3 อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ 0 ซึ่งเกิดขึ้นที่ x = 0 และ x = 20 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ 15root (3) 5 ซึ่งเกิดขึ้นที่ x = 5 จุดที่เป็นไปได้ที่อาจเป็น extrema แบบสัมบูรณ์คือ: จุดเปลี่ยน นั่นคือจุดที่ dy / dx = 0 จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาเรามีจุดสิ้นสุด (0 และ 20) ดังนั้นเรามาหาจุดเปลี่ยนของเรา: f '(x) = 0 d / dx (x ^ (1/3) ( 20-x)) = 0 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) (20-x) / (3x) = 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x ดังนั้นจึงมีจุดเปลี่ยนที่ x = 5 ซึ่งหมายความว่า 3 จุดที่เป็นไปได้ที่อาจเป็น extrema คือ : x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ อ่านเพิ่มเติม »

(1, 1 / e) เป็นค่าสูงสุดแน่นอนในโดเมนที่กำหนดไม่มีขั้นต่ำอนุพันธ์ของ f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2) ) ^ 2 ค่าวิกฤตจะเกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์เท่ากับ 0 หรือไม่ได้กำหนด อนุพันธ์จะไม่ถูกนิยาม (เนื่องจาก e ^ (x ^ 2) และ x เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและ e ^ (x ^ 2)! = 0 สำหรับค่าใด ๆ ของ x ดังนั้นหาก f '(x) = 0: 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) ดังกล่าวข้างต้น e ^ (x ^ 2) จะไม่เท่ากับ 0 ดังนั้นเราเท่านั้น ตัวเลขวิกฤตสองตัวจะเกิดขึ้นที่วิธีแก้ปัญหาของ 0 = 1 -2x ^ 2 2x ^ 2 = 1 x ^ 2 = 1/2 x = + - sqrt ( อ่านเพิ่มเติม »

มีค่าสูงสุดแน่นอนที่ -1.718 ที่ x = 1 และค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ -5.921 ที่ x = ln8 ในการพิจารณาค่า extrema แบบสัมบูรณ์ในช่วงเวลาเราต้องค้นหาค่าวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ภายในช่วงเวลานั้น จากนั้นเราต้องทดสอบทั้งจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและค่าวิกฤต นี่คือจุดที่อาจเกิดค่าวิกฤต การค้นหาค่าวิกฤต: ค่าวิกฤตของ f (x) เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ f '(x) = 0 ดังนั้นเราต้องหาอนุพันธ์ของ f (x) หาก: "" "" "" "" f (x) = xe ^ x จากนั้น: "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x ดังนั้นค่าวิกฤตจะเกิดขึ้นเมื่อ: "" "" 1-e ^ x = 0 ซึ่งก็หมายความว่า: "" "" อ่านเพิ่มเติม »

ที่ x = -1 ค่าต่ำสุดและที่ x = 3 สูงสุด f (x) = (x-1) / (x ^ 2 + x + 2) มีจุดคงที่ที่โดดเด่นด้วย (df) / (dx) = - ((x-3) (1 + x)) / (2 + x + x ^ 2) ^ 2 = 0 ดังนั้นพวกเขาจึงอยู่ที่ x = -1 และ x = 3 ลักษณะของพวกเขาทำการวิเคราะห์สัญญาณของ (d ^ 2f) / (dx ^ 2) = (2 (x ((x- 3) x-9)) - 1) / (2 + x + x ^ 2) ^ 3 ที่จุดเหล่านั้น (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (- 1) = 1> 0-> ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (d ^ 2f) / (dx ^ 2) (3) = - 1/49 <0-> ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ แนบพล็อตฟังก์ชั่น อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์เรามีค่าสูงสุดที่ x = 16 และค่าต่ำสุดที่ x = 0 ค่าสูงสุดจะปรากฏโดยที่ f '(x) = 0 และ f' '(x) <0 สำหรับ f (x) = (x +1) (x-8) ^ 2 + 9 f '(x) = (x-8) ^ 2 + 2 (x + 1) (x-8) = (x-8) (x-8) (x-8 + 2x + 2) = (x-8) (3x-6) = 3 (x-8) (x-2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อ x = 2 และ x = 8 เรามี extrema แต่ f '' (x) = 3 (x-2) +3 (x-8) = 6x-30 และที่ x = 2, f '' (x) = - 18 และที่ x = 8, f '' (x) = 18 ดังนั้นเมื่อ x ใน [ 0,16] เรามีค่าสูงสุดในพื้นที่ที่ x = 2 และค่าต่ำสุดระดับท้องถิ่นที่ x = 8 ไม่ใช่ค่าสูงสุดหรือค่าสัมประสิทธิ์สัมบูรณ์ ในช่วง [0,16] เรามีค่าสูงสุดที่ x = 16 อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ -25/2 (ที่ x = -sqrt (25/2)) ค่าสูงสุดแน่นอนคือ 25/2 (ที่ x = sqrt (25/2)) f (-4) = -12 และ f (5) = 0 f '(x) = sqrt (25-x ^ 2) + x / (ยกเลิก (2) sqrt (25-x ^ 2)) * - ยกเลิก ( 2) x = (25-x ^ 2-x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) = (25-2x ^ 2) / sqrt (25-x ^ 2) จำนวนวิกฤตของ f คือ x = + -sqrt (25/2) ทั้งสองนี้อยู่ใน [-4,5] .. f (-sqrt (25/2)) = -sqrt (25/2) sqrt (25-25 / 2) = -sqrt ( 25/2) sqrt (25/2) = -25/2 โดยสมมาตร (f คือคี่), f (sqrt (25/2)) = 25/2 สรุป: f (-4) = -12 f (-sqrt (25/2)) = -25/2 f (sqrt (25/2)) = 25/2 f (5) = 0 ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ -25/2 (at x = -sqrt (25/2)) . ค่าสูงสุดแน่นอนคือ 25/2 (ที่ x = อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มี extrema สัมบูรณ์ในช่วงเวลา (2, 5) ที่กำหนด: f (x) = x - sqrt (5x - 2) ใน (2, 5) เพื่อหา extrema สัมบูรณ์เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกและดำเนินการอนุพันธ์แรก ทดสอบเพื่อค้นหาต่ำสุดหรือสูงสุดใด ๆ แล้วหาค่า y ของจุดสิ้นสุดและเปรียบเทียบ ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรก: f (x) = x - (5x - 2) ^ (1/2) f '(x) = 1 - 1/2 (5x - 2) ^ (- 1/2) (5) f '(x) = 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) ค้นหาค่าวิกฤต (s) f' (x) = 0: 1 - 5 / (2sqrt (5x - 2)) = 0 1 = 5 / ( 2sqrt (5x - 2)) 2sqrt (5x - 2) = 5 sqrt (5x - 2) = 5/2 สแควร์ทั้งสองข้าง: 5x - 2 = + - 25/4 เนื่องจากโดเมนของฟังก์ชันถูก จำกัด โดยราก 5x - 2> = 0; "" x> = 2/5 เร อ่านเพิ่มเติม »

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์: (5, 1/10) ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์: (0, 0) ได้รับ: f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "ตามช่วงเวลา" [0, 9] ค่าสัมบูรณ์สามารถพบได้โดยการประเมิน จุดสิ้นสุดและค้นหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และเปรียบเทียบค่า y ประเมินจุดสิ้นสุด: f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => ( 9, 9/106) ~~ (9, .085) ค้นหาค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ใด ๆ โดยการตั้งค่า f '(x) = 0 ใช้กฎความฉลาด: (u / v)' = (vu '- uv') / v ^ 2 ให้ u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x f' (x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 f อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มี extrema สัมบูรณ์เนื่องจาก f (x) ไม่มีขอบเขต extrema ท้องถิ่น: LOCAL MAX: x = -1 LOCAL MIN: x = 1 INFLECTION POINT x = 0 ไม่มี Extrema แบบสัมบูรณ์เนื่องจาก lim_ (x rarr + -oo) f ( x) rarr + -oo คุณสามารถหา extrema ท้องถิ่นถ้ามี ในการค้นหา f (x) extrema หรือ poits วิกฤติเราต้องคำนวณ f '(x) เมื่อ f' (x) = 0 => f (x) มีจุดนิ่ง (MAX, min หรือจุดผัน) จากนั้นเราต้องค้นหาเมื่อ: f '(x)> 0 => f (x) กำลังเพิ่มขึ้น f' (x) <0 => f (x) กำลังลดลงดังนั้น: f '(x) = d / dx (5x ^ 7-7x ^ 5-5) = 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ 4 (x ^ 2-1): .f '(x) = 35x ^ 4 (x + 1) (x-1 ) f '(x) = 0 สี (สีเขียว) ยกเ อ่านเพิ่มเติม »

เราจำเป็นต้องค้นหาค่าวิกฤตของ f (x) ในช่วงเวลา [1,4] ดังนั้นเราคำนวณรากของอนุพันธ์อันดับแรกดังนั้นเราจึงมี (df) / dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2 (x-2) = 0 => x = 2 ดังนั้น f ( 2) = 5 นอกจากนี้เรายังพบค่าของ f ที่จุดสิ้นสุดดังนั้น f (1) = 1 + 2 = 3 f (4) = 16 + 2/4 = 16.5 ค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดคือ x = 4 ดังนั้น f (4 ) = 16.5 เป็นค่าสูงสุดแน่นอนสำหรับ f ใน [1,4] ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุดคือ x = 1 ดังนั้น f (1) = 3 คือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์สำหรับ f ใน [1,4] กราฟของ f ใน [1] , 4] คือ อ่านเพิ่มเติม »

Extrema แบบสัมบูรณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในขอบเขตบน Extrema ท้องถิ่นหรือจุดที่ไม่ได้กำหนด ให้เราหาค่าของ f (x) บนขอบเขต x = 3 และ x = 7 นี่ทำให้เรา f (3) = 1 และ f (7) = 7/43 จากนั้นหา extrema ท้องถิ่นโดยอนุพันธ์ อนุพันธ์ของ f (x) = x / (x ^ 2-6) สามารถพบได้โดยใช้กฎหาร: d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 โดยที่ u = x และ v = x ^ 2-6 ดังนั้น f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2 Extrema ท้องถิ่นเกิดขึ้นเมื่อ f '(x) = 0 แต่ไม่มีที่ไหนใน x ใน [3,7] คือ f' (x) = 0 จากนั้นค้นหาคะแนนที่ไม่ได้กำหนด อย่างไรก็ตามสำหรับทั้งหมด x ใน [3,7] จะมีการกำหนด f (x) ดังนั้นหมายความว่าค่าสูงสุดสัมบูรณ์คือ (3,2) และค่าต่ำ อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ -1 ที่ x = 1 และสูงสุดแน่นอนที่ 19 ที่ x = 3 มีผู้สมัครสองคนสำหรับ extrema สัมบูรณ์ของช่วงเวลา พวกเขาคือจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา (ที่นี่ 0 และ 3) และค่าวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ภายในช่วงเวลา ค่าวิกฤตสามารถพบได้โดยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและค้นหาค่าของ x เท่ากับ 0 เราสามารถใช้กฎกำลังเพื่อหาอนุพันธ์ของ f (x) = x ^ 3-3x + 1 คือ f '( x) = 3x ^ 2-3 ค่าวิกฤติคือเมื่อ 3x ^ 2-3 = 0 ซึ่งทำให้ x = + - 1 เป็น 1 อย่างไรก็ตาม x = -1 ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาดังนั้นค่าวิกฤติที่ถูกต้องเท่านั้นที่นี่คือค่าที่ x = 1 ตอนนี้เรารู้แล้วว่า extrema สัมบูรณ์สามารถเกิดขึ้นได้ที่ x = 0, x = 1 และ x = 3 เพื่อตรวจสอบว่าเป็นที่ใดเสียบพ อ่านเพิ่มเติม »

Local Minima คือ -2187/128 Global Minima = -2187 / 128 ~ = -17.09 Maxima สากล = 64 สำหรับ extrema, f '(x) = 0 F '(x) = (x-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (x-5) ^ 3 * 1 = (x-5) ^ 2 {3x-6 + X-5] = (4x -11) (x-5) ^ 2 f '(x) = 0 rArr x = 5! ใน [1,4] ดังนั้นไม่จำเป็นต้องมีการรวมต่อไป & x = 11/4 f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21) ตอนนี้ f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, แสดงว่า, f (11 / 4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187 / 128 คือ Local Minima ในการค้นหาค่าส่วนกลางเรา อ่านเพิ่มเติม »

(-4, -381) และ (8,2211) เพื่อหา extrema คุณจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและค้นหารากของอนุพันธ์ ie แก้ปัญหาสำหรับ d / dx [f (x)] = 0 ใช้กฎกำลัง: d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36 แก้ปัญหาสำหรับราก: 18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0, ยกกำลังสอง: (x-1) (x + 2) = 0 x = 1, x = -2 f (-1) = -6- 9 + 36 + 3 = 24 f (2) = 48-36-72 + 3 = -57 ตรวจสอบขอบเขต: f (-4) = -381 f (8) = 2211 ดังนั้น extrema สัมบูรณ์คือ (-4, - 381) และ (8,2211) อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ 0 (ที่ x = 0) และค่าสูงสุดแน่นอนคือ 1 (ที่ x = 1) f '(x) = ((1) (x ^ 2-x + 1) - (x) (2x-1)) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 = (1-x ^ 2) / (x ^ 2-x + 1) ^ 2 f '(x) ไม่เคยถูกกำหนดและเป็น 0 ที่ x = -1 (ซึ่งไม่ได้อยู่ใน [0,3]) และที่ x = 1 การทดสอบจุดสิ้นสุดของ intevral และจำนวนวิกฤตในช่วงเวลานั้นเราจะพบว่า: f (0) = 0 f (1) = 1 f (3) = 3/7 ดังนั้นขั้นต่ำสัมบูรณ์คือ 0 (ที่ x = 0) และ ค่าสูงสุดแน่นอนคือ 1 (ที่ x = 1) อ่านเพิ่มเติม »

ตรวจสอบคำตอบด้านล่างสำหรับ x = 0 เรามี f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 เราพิจารณาฟังก์ชันใหม่ g (x) = xe ^ (- x) +1, xinRR g (0 ) = 0, g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0, xinRR ผลที่ได้คือ g เพิ่มขึ้นใน RR ดังนั้นเนื่องจากมันเพิ่ม g อย่างเข้มงวดคือ "1-1" (หนึ่งต่อหนึ่ง) ดังนั้น f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 <=> g (f (0)) = g ( 0) <=> f (0) = 0 เราต้องแสดงให้เห็นว่า x / 2 ^ (x> 0) 1/2 1/2 <(f (x) -f (0)) / (x-0)อ่านเพิ่มเติม »

ดูด้านล่างฉันไม่แน่ใจ 100% เกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่นี่จะเป็นคำตอบของฉัน นิยามของฟังก์ชั่นคู่คือ f (-x) = f (x) ดังนั้น f (-a) = f (a) เนื่องจาก f (a) ต่อเนื่องและ f (-a) = f (a) ดังนั้น f (-a) จึงต่อเนื่องเช่นกัน อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx ฉันชอบตั้งปัญหาเท่ากับ y ถ้ายังไม่ได้ นอกจากนี้ยังจะช่วยกรณีของเราในการเขียนปัญหาโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) ทีนี้เราทำการทดแทนสองครั้งเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น สมมุติว่า w = cosh (lnx) และ u = cosx ตอนนี้ y = ln (w) + ln (u) ahh เราสามารถทำงานกับสิ่งนี้ได้ :) ลองหาอนุพันธ์เทียบกับ x ของทั้งสองข้าง (เนื่องจากไม่มีตัวแปรใดของเราคือ x นี่จะเป็นความแตกต่างโดยนัย) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) เรารู้อนุพันธ์ของ lnx เป็น 1 / x และการใช้กฎลูกโซ่ที่เราได้รับ; dy / dx = 1 / w * (dw) / dx + 1 / u * (du) / dx งั้นเรากลับไปที่ u และ w แล้วหาอนุพันธ์ของพวกมัน อ่านเพิ่มเติม »

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) การทดแทนที่นี่จะช่วยได้อย่างมาก! สมมุติว่า x ^ (1/2) = u ตอนนี้ y = e ^ u เรารู้ว่าอนุพันธ์ของ e ^ x คือ e ^ x ดังนั้น; dy / dx = e ^ u * (du) / dx โดยใช้กฎลูกโซ่ d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) ตอนนี้เสียบ (du) / dx และ u กลับเข้าไปในสมการ: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) อ่านเพิ่มเติม »

(1,1) และ (1, -1) เป็นจุดเปลี่ยน y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3 ใช้ความแตกต่างโดยนัย 3y ^ 2times (dy) / (dx) + 3xtimes2y (dy) / (dx) + 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0 (dy) / (dx) (3y ^ 2 + 6xy) = 3x ^ 2-3y ^ 2 (dy) / (dx) = (3 (x ^ 2-y ^ 2)) / (3y (y + 2x)) (dy) / (dx) = (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) สำหรับจุดเปลี่ยน, (dy) / (dx) = 0 (x ^ 2-y ^ 2) / (y (y + 2x) = 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0 (xy) (x + y) = 0 y = x หรือ y = -x Sub y = x กลับเข้าสู่สมการดั้งเดิม x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 ดังนั้น (1,1) เป็นหนึ่งในจุดเปลี่ยน 2 จุดย่อย y = -x กลับเข้าไปในสมการเดิม x ^ 3 + 3x * (- x ) ^ 2-x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1 ดังน อ่านเพิ่มเติม »

(0, -2) คือจุดอาน (-5,3) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่นเราจะได้รับ g (x, y) = 3x3 ^ 2 + 6xy + 2y + 2y ^ 3 + 12x-24y ก่อนอื่นเราต้องหา จุดที่ (delg) / (delx) และ (delg) / (dely) ทั้งคู่เท่ากับ 0 (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 (delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 6 (x + y + 2) = 0 6 (x + y ^ 2-4) = 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0 (y-3) (y + 2) = 0 y = 3 หรือ -2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0 จุดวิกฤติเกิดขึ้นที่ (0, -2) และ (-5,3) ตอนนี้สำหรับการจำแนก: ดีเทอร์มิแนนต์ของ f (x, y) ได้รับจาก D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (dely ^ 2 ) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del / ( อ่านเพิ่มเติม »

เรามาเริ่มด้วยการใส่คำจำกัดความกันบ้าง หากเราเรียกความสูงของกล่องและด้านที่เล็กกว่า (ดังนั้นด้านที่ใหญ่กว่าคือ 2x เราสามารถพูดได้ว่าปริมาตร V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 ซึ่งเราแยก hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 ตอนนี้สำหรับพื้นผิว (= วัสดุ) ด้านบนและล่าง: 2x * x คูณ 2> พื้นที่ = 4x ^ 2 ด้านสั้น: x * h คูณ 2> พื้นที่ = 2xh ด้านยาว: 2x * h คูณ 2-> Area = 4xh พื้นที่ทั้งหมด: A = 4x ^ 2 + 6xh แทนค่า h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 เพื่อค้นหาขั้นต่ำเราแยกความแตกต่างและตั้งค่า A 'เป็น 0 A' = 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 ซึ่งนำไปสู่ 8x ^ 3 = 27000- อ่านเพิ่มเติม »

โดเมนของคำจำกัดความของ: f (x) = 2x ^ 2lnx คือช่วงเวลา x ใน (0, + oo) ประเมินอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและสองของฟังก์ชัน: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx จุดวิกฤติคือคำตอบของ: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 และเป็น x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) ในจุดนี้: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 ดังนั้นจุดวิกฤติจึงเป็นจุดต่ำสุดในท้องถิ่น จุดอานคือคำตอบของ: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 และ f '' (x) เป็นเสียงเดียวที่เพิ่มขึ้นเราสามารถสรุปได้ว่า f (x ) เป็นส่วนเว้าสำหรับ x <1 / e อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มีคะแนนนิ่ง (คุณแน่ใจหรือไม่ว่า f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x เป็นสิ่งที่คุณต้องการศึกษา?!) ตามคำจำกัดความที่กระจัดกระจายมากที่สุดของจุดอาน (จุดที่อยู่นิ่งที่ไม่ใช่ extrema) คุณกำลังค้นหาจุดที่อยู่นิ่งของฟังก์ชันในโดเมน D = (x, y) ใน RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) ใน RR ^ 2} ตอนนี้เราสามารถเขียนนิพจน์ที่ให้สำหรับ f ด้วยวิธีต่อไปนี้: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x วิธีการระบุพวกเขาคือการค้นหาจุดที่ลบล้างความชันของ f ซึ่งเป็นเวกเตอร์ของอนุพันธ์บางส่วน: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) เนื่องจากโดเมนเป็นชุดเปิดเราไม่จำเป็นต้องค้นหา สำหรับ extrema ในที่สุดนอนอยู่บนขอบเขตเพ อ่านเพิ่มเติม »

{: ("จุดวิกฤติ", "สรุป"), ((0,0), "ขั้นต่ำ"), ((-1, -2), "อาน"), ((-1,2), "อาน" ), ((-5 / 3,0), "max"):} ทฤษฎีเพื่อระบุ extrema ของ z = f (x, y) คือ: แก้สมการวิกฤตพร้อมกัน (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 (เช่น z_x = z_y = 0) ประเมิน f_ (xx), f_ (yy) และ f_ (xy) (= f_ (yx)) ที่แต่ละจุดวิกฤติ . ดังนั้นประเมิน Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 ที่แต่ละจุดเหล่านี้กำหนดลักษณะของ extrema; {: (เดลต้า> 0, "มีขั้นต่ำถ้า" f_ (xx) <0), (, "และสูงสุดถ้า" f_ (yy)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน") , (เดลต้า = 0 อ่านเพิ่มเติม »

เรามี: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y ขั้นตอนที่ 1 - ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนเราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของ ฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไปโดยแยกความแตกต่างของตัวแปร WRT หนึ่งตัวในขณะที่ตัวแปรอื่น ๆ จะถือว่าเป็นค่าคงที่ ดังนั้น: อนุพันธ์อันดับแรกคือ: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y อนุพันธ์อันดับสอง (อ้างถึง) คือ: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx 2cos2y) = -12sinxcos2y อนุพันธ์ข้ามส่วนที่สองคือ: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y เหมือนกันเนื่องจากความต่อเนื่องของ f (x, y) ขั้นตอนที่ 2 - ระบุจุดวิกฤตจุดสำคัญเกิดขึ้นที่การแก้ปัญหาพร้ อ่านเพิ่มเติม »

X = pi / 2 และ y = pi x = pi / 2 และ y = -pi x = -pi / 2 และ y = pi x = -pi / 2 และ y = -pi x = pi และ y = pi / 2 x = pi และ y = -pi / 2 x = -pi และ y = pi / 2 x = -pi และ y = -pi / 2 ในการค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน 2 ตัวแปรคุณต้องคำนวณการไล่ระดับสีซึ่ง เป็นเวกเตอร์ที่รวบรวมอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปรแต่ละตัว: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) ดังนั้นเราจึงมี d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) และในทำนองเดียวกัน d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) ในการค้นหาจุดวิกฤตต้องใช้การไล่ระดับสีเป็นศูนย์เวกเตอร์ (0,0) ซึ่งหมายถึงการแก้ระบบ {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} ซึ่งแน่นอนว่าเราสามารถลดความซับซ้อนของการกำจัด อ่านเพิ่มเติม »

{0,0} จุดอาน {0, -2} สูงสุดสูงสุดในท้องถิ่น f (x, y) = e ^ y (y ^ 2-x ^ 2) ดังนั้นคะแนน sationary จะถูกกำหนดโดยการแก้โจทย์ f (x, y) = vec 0 หรือ {(-2 e ^ yx = 0), (2 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2) = 0):} ให้วิธีแก้ปัญหาสองวิธี ((x = 0, y = 0 ), (x = 0, y = -2)) คะแนนเหล่านั้นผ่านการรับรองโดยใช้ H = grad (ผู้สำเร็จการศึกษา f (x, y)) หรือ H = ((- 2 e ^ y, -2 e ^ yx), (- 2 e ^ yx, 2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y (-x ^ 2 + y ^ 2))) ดังนั้น H (0,0) = ((-2, 0), (0, 2 )) มีค่าลักษณะเฉพาะ {-2,2} ผลลัพธ์นี้มีคุณสมบัติเป็นจุด {0,0} เป็นจุดอาน H (0, -2) = ((- 2 / e ^ 2, 0), (0, -2 / e ^ 2)) มีค่าลักษณะเฉพาะ {-2 / e ^ 2, -2 / e ^ 2} ผลลัพ อ่านเพิ่มเติม »

คะแนน (0,0), (1,0) และ (0,1) เป็นจุดอาน จุด (1 / 3,1 / 3) เป็นจุดสูงสุดในพื้นที่ เราสามารถขยาย f เป็น f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 จากนั้นหาอนุพันธ์ย่อยและตั้งค่าให้เท่ากับศูนย์ frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 frac { partial f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 ชัดเจน, (x, y) = (0,0), (1,0), และ (0,1) เป็นคำตอบสำหรับระบบนี้และเป็นจุดวิกฤติของ f โซลูชันอื่นสามารถพบได้จากระบบ 1-2x-y = 0, 1-x-2y = 0 การแก้สมการแรกสำหรับ y ในรูปของ x ให้ y = 1-2x ซึ่งสามารถเสียบเข้ากับสมการที่สองเพื่อรับ 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 3/1 จากจุดนี้ y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 เช่นกัน เพื่อท อ่านเพิ่มเติม »

จุดอานตั้งอยู่ที่ {x = -63/725, y = -237/725} Poins ที่อยู่กับที่ถูกกำหนดให้แก้สำหรับ {x, y} ผู้สำเร็จการศึกษา f (x, y) = ((9 + 2 x + 27 y ), (3 + 27 x + 2 y)) = vec 0 ได้รับผลลัพธ์ {x = -63/725, y = -237/725} คุณสมบัติของจุดที่อยู่นิ่งนี้จะทำหลังจากสังเกตรากจากพหุนามที่เกี่ยวข้อง ไปยังเมทริกซ์ของ Hessian Hessian matrix นั้นได้ทำ H = grad (grad f (x, y)) = ((2,27), (27,2)) กับ charasteristic polynomial p (lambda) = lambda ^ 2- "trace" (H) lambda + det (H) = lambda ^ 2-4 lambda-725 การแก้แลมบ์ดาเราได้รับแลมบ์ดา = {-25,29} ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามที่บ่งบอกลักษณะของจุดอาน อ่านเพิ่มเติม »

ฉันไม่พบจุดอานม้า แต่มีค่าต่ำสุด: f (1/3, -2 / 3) = -1/3 เพื่อหา extrema ใช้อนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับ x และ y เพื่อดูว่าอนุพันธ์บางส่วนสามารถ พร้อมกันเท่ากับ 0 ((delf) / (delx)) _y = 2x + y ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 หากพวกเขาพร้อมกันต้องเท่ากับ 0 พวกเขาจะสร้างระบบสมการ: 2 ( 2x + y + 0 = 0) x + 2y + 1 = 0 ระบบเชิงเส้นของสมการนี้เมื่อลบออกเพื่อยกเลิก y ให้: 3x - 1 = 0 => สี (สีเขียว) (x = 1/3) => 2 (1/3) + y = 0 => สี (สีเขียว) (y = -2/3) เนื่องจากสมการเป็นเส้นตรงมีจุดวิกฤติเพียงจุดเดียวเท่านั้น อนุพันธ์อันดับสองจะบอกเราว่ามันเป็นสูงสุดหรือต่ำสุด ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x อ่านเพิ่มเติม »

V = pi-1 / 4pi ^ 2 สูตรสำหรับการหาปริมาตรของของแข็งที่เกิดจากการหมุนฟังก์ชัน f รอบแกน x คือ V = int_a ^ bpi [f (x)] ^ 2dx ดังนั้นสำหรับ f (x) = cotx ปริมาตรของการปฏิวัติระหว่าง pi "/" 4 และ pi "/" 2 คือ V = int_ (pi "/" 4) ^ (pi "/" 2) pi (cotx) ^ 2dx = piint_ (pi "/" 4) ^ (PI "/" 2) เปล ^ = 2xdx piint_ (PI "/" 4) ^ (PI "/" 2) CSC ^ 2x-1DX = -pi [cotx + x] _ (PI" / "4) ^ (PI" / "2) = - ปี่ ((0-1) + (PI / 2-ปี่ / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 อ่านเพิ่มเติม »

จุดอานที่จุดกำเนิด เรามี: f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x และเราได้อนุพันธ์อนุพันธ์บางส่วน โปรดจำไว้ว่าเมื่อแยกแยะความแตกต่างบางส่วนที่เราแยกแยะความแตกต่างของตัวแปรที่เป็นปัญหาในขณะที่รักษาตัวแปรอื่น ๆ เป็นค่าคงที่ และ: (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 2xy-y ^ 2 และ (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = x ^ 2-2yx ที่จุด extrema หรืออานเรามี: ( บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 0 และ (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 พร้อมกัน: เช่นการแก้ปัญหาพร้อมกันของ: 2xy-y ^ 2 = 0 => y ( 2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y ดังนั้นจึงมีเพียงหนึ่ง จุดวิกฤติที่จุดกำเนิด (0,0) ในการสร้างลักษณะของจุดวิกฤตินักวิ อ่านเพิ่มเติม »

จุด (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) ประมาณ (1.26694,1.16437) เป็นจุดต่ำสุดในท้องถิ่น อนุพันธ์อันดับหนึ่งอันดับแรกคือ (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = y-3x ^ {- 4} และ (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = x-2y ^ {- 3} การตั้งค่าทั้งสองเท่ากับผลลัพธ์เป็นศูนย์ในระบบ y = 3 / x ^ (4) และ x = 2 / y ^ {3} การลบสมการแรกในสมการที่สองจะให้ x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 ตั้งแต่ x! = 0 ในโดเมนของ f ผลลัพธ์เป็น x ^ {11} = 27/2 และ x = (27/2) ^ {1/11} ดังนั้น y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} อนุพันธ์อันดับที่สองคือ (บางส่วน ^ {2} f) / (บางส่วน x ^ {2}) = 12x ^ {- 5 }, (บางส่วน ^ {2} f) / (บางส่วน y ^ {2 อ่านเพิ่มเติม »

มีหนึ่ง extrema ที่ (3,3,27) เรามี: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y ดังนั้นเราจึงได้อนุพันธ์อนุพันธ์บางส่วน: (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = y - 27 / x ^ 2 and (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = x - 27 / y ^ 2 ที่จุด extrema หรืออานเรามี: (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = 0 and (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 พร้อมกัน: เช่นวิธีแก้ปัญหาพร้อมกันของ: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 การลบสมการเหล่านี้จะให้: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0: xy (x-y) = 0:. x = 0; การ y = 0; x = y เราสามารถกำจัด x = 0; y = 0 และดังนั้น x = y เป็นทางออกที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวซึ่งนำไปสู่: x ^ 3 = 27 => x = y = 3 และด้วย x = y = อ่านเพิ่มเติม »

(0,0) คือจุดอาน (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) และ (-1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) เป็น maxima ท้องถิ่น (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) และ (-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) เป็น local minima (0, pm 1 / sqrt 2) และ (pm 1 / sqrt 2,0) เป็นจุดผันโรค สำหรับฟังก์ชั่นทั่วไป F (x, y) ที่มีจุดคงที่ที่ (x_0, y_0) เรามีการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots สำหรับฟังก์ชัน f (x) = xy e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} เรามี (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + xy ( อ่านเพิ่มเติม »

เรามี: f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) ขั้นตอนที่ 1 - ค้นหาอนุพันธ์บางส่วนเราคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวหรือมากกว่าโดยการแยกความแตกต่างของตัวแปร WRT หนึ่ง ในขณะที่ตัวแปรอื่น ๆ จะถือว่าเป็นค่าคงที่ ดังนั้น: อนุพันธ์อันดับแรกคือ: f_x = y + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2x) = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_y = x + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) (-2y) = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) อนุพันธ์อันดับสอง (ที่ยกมา) คือ: f_ (xx) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yy) = -2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ ( -x ^ 2-y ^ 2) อนุพันธ์ข้ามส่วนที่สองคือ f_ (xy) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) f_ (yx) = 1 + 4xye ^ (- x ^ 2 -y อ่านเพิ่มเติม »

{: ("จุดวิกฤติ", "สรุป"), ((0,0,0), "อาน"):} ทฤษฎีที่ใช้ระบุ extrema ของ z = f (x, y) คือ: แก้สมการวิกฤตพร้อมกัน (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 (เช่น f_x = f_y = 0) ประเมิน f_ (xx), f_ (yy) และ f_ (xy) (= f_ (yx)) ที่จุดวิกฤติแต่ละจุด ดังนั้นประเมิน Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 ที่แต่ละจุดเหล่านี้กำหนดลักษณะของ extrema; {: (เดลต้า> 0, "มีขั้นต่ำถ้า" f_ (xx) <0), (, "และสูงสุดถ้า" f_ (yy)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน") , (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} ดังนั้นเราจึงมี: f (x, y) = xy (e ^ (y อ่านเพิ่มเติม »

เริ่มต้นด้วยภาพร่างของฟังก์ชันในช่วงเวลาเสมอ ในช่วงเวลา [1,6] กราฟจะมีลักษณะดังนี้: ตามที่สังเกตจากกราฟฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก 1 เป็น 6 ดังนั้นจึงไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดในท้องถิ่น อย่างไรก็ตาม extrema แบบสัมบูรณ์จะมีอยู่ที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลา: ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์: f (1) = 11 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์: f (6) = 1/216 + 60 ~~ 60.005 หวังว่าจะช่วยได้ อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุด f = 1 ไม่มีขั้นต่ำ การ y = f (x) = 1 sqrtx แทรกกราฟ สิ่งนี้แสดงถึงกึ่งพาราโบลาในจตุภาค Q_1 และ Q_4 โดยที่ x> = 0 Max y อยู่ที่ท้าย (0, 1) แน่นอนไม่มีขั้นต่ำ โปรดทราบว่าในฐานะ x ถึง oo, y to -oo สมการหลักคือ (y-1) ^ 2 = x ที่สามารถแยกออกเป็น y = 1 + -sqrtx กราฟ {y + sqrtx-1 = 0 [-2.5, 2.5, -1.25, 1.25]} อ่านเพิ่มเติม »

มีค่าต่ำสุดทั่วโลก 2 ที่ x = -1 และสูงสุดทั่วโลก 27 ที่ x = 4 ในช่วง [-2,4] Global extrema อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่งในสองแห่ง: ที่ปลายทางหรือที่จุดวิกฤติภายในช่วงเวลา จุดสิ้นสุดที่เราจะต้องทดสอบคือ x = -2 และ x = 4 หากต้องการหาจุดวิกฤตใด ๆ ให้หาอนุพันธ์และตั้งค่าเป็น 0 f (x) = 2 + (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 2 + 2x + 3 ผ่านกฎกำลัง, f '(x) = 2x + 2 การตั้งค่าเท่ากับ 0, 2x + 2 = 0 "" => "" x = -1 มีจุดวิกฤติที่ x = -1 ซึ่งหมายความว่ามันอาจเป็น extremum ทั่วโลกได้ ทดสอบจุดสามจุดที่เราพบเพื่อหาค่าสูงสุดและต่ำสุดสำหรับช่วงเวลา: f (-2) = 2 + (- 2 + 1) ^ 2 = 3 f (-1) = 2 + (- 1 + 1) ^ 2 = 2 f (4) = 2 + (4 + อ่านเพิ่มเติม »

F (x) มีค่าสูงสุดแน่นอนที่ -1 ที่ x = 1 f (x) = -2x ^ 2 + 4x-3 f (x) ต่อเนื่องใน [-oo, + oo] เนื่องจาก f (x) เป็นรูปโค้ง เมื่อคำศัพท์ใน x ^ 2 มีค่าสัมประสิทธิ์ -ve, f (x) จะมีค่าสูงสุดสัมบูรณ์เดียวโดยที่ f '(x) = 0 f' (x) = -4x + 4 = 0 -> x = 1 f ( 1) = -2 + 4-3 = -1 ดังนั้น: f_max = (1, -1) ผลลัพธ์นี้สามารถเห็นได้บนกราฟของ f (x) ด้านล่าง: กราฟ {-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 , 5.59, -3.343, 0.554]} อ่านเพิ่มเติม »

X_1 = -2 คือค่าสูงสุด x_2 = 1/3 เป็นค่าต่ำสุด ก่อนอื่นเราระบุจุดวิกฤติโดยการเทียบอนุพันธ์อันดับแรกให้เป็นศูนย์: f '(x) = 6x ^ 2 + 10x -4 = 0 ให้เรา: x = frac (-5 + - sqrt (25 + 24)) 6 = ( -5 + - 7) / 6 x_1 = -2 และ x_2 = 1/3 ทีนี้เราศึกษาสัญญาณของอนุพันธ์อันดับสองรอบจุดวิกฤติ: f '' (x) = 12x + 10 ดังนั้น: f '' (- 2) <0 นั่นคือ x_1 = -2 คือค่าสูงสุด f '' (1/3)> 0 นั่นคือ x_2 = 1/3 เป็นค่าต่ำสุด กราฟ {2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10, 10, -10, 10]} อ่านเพิ่มเติม »

ขั้นต่ำสัมบูรณ์บนโดเมนเกิดขึ้นที่ประมาณ (pi / 2, 3.7124) และค่าสูงสุดสัมบูรณ์บนโดเมนเกิดขึ้นที่ประมาณ (3pi / 4, 5.6544) ไม่มี Extrema ท้องถิ่น ก่อนที่เราจะเริ่มมันจะทำให้เราต้องวิเคราะห์และดูว่า sin x ใช้ค่า 0 ที่จุดใด ๆ ในช่วงเวลาหรือไม่ sin x เป็นศูนย์สำหรับ x ทั้งหมดที่ x = npi pi / 2 และ 3pi / 4 มีทั้งน้อยกว่า pi และมากกว่า 0pi = 0; ดังนั้นบาป x ไม่ได้คำนึงถึงค่าเป็นศูนย์ที่นี่ เพื่อที่จะตัดสินสิ่งนี้จำได้ว่าเหตุการณ์รุนแรงเกิดขึ้นเมื่อ f '(x) = 0 (จุดวิกฤติ) หรือที่จุดใดจุดหนึ่ง สิ่งนี้อยู่ในใจเราหาอนุพันธ์ของ f (x) ด้านบนและหาจุดที่อนุพันธ์นี้เท่ากับ 0 (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / บาป x) = 3 - d / dx (1 อ่านเพิ่มเติม »

F (x) มีค่าต่ำสุดที่ x = 2 ก่อนดำเนินการต่อโปรดทราบว่านี่คือพาราโบลาที่หันขึ้นด้านบนซึ่งหมายความว่าเราสามารถรู้ได้โดยไม่ต้องคำนวณเพิ่มเติมว่ามันจะไม่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดเพียงจุดเดียว การทำตารางให้สมบูรณ์จะแสดงให้เราเห็นว่า f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1, ให้จุดยอด, และจุดต่ำสุดเพียงอย่างเดียวที่ x = 2 ลองมาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับแคลคูลัส Extrema ใด ๆ จะเกิดขึ้นที่จุดวิกฤติหรือที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาที่กำหนด เมื่อช่วงเวลาที่กำหนดของ (-oo, oo) เปิดอยู่เราสามารถเพิกเฉยต่อความเป็นไปได้ของจุดสิ้นสุดดังนั้นเราจะระบุจุดวิกฤติของฟังก์ชันก่อนนั่นคือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น 0 หรือ ไม่ได้อยู่. f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x อ่านเพิ่มเติม »

มาดูกัน. ปล่อยให้ฟังก์ชั่นเป็น y เช่นนั้น rarr y = f (x) = - x ^ 2 + 2x + 3 ตอนนี้ทำให้ความแตกต่างของ wrt x: dy / dx = -2x + 2 ตอนนี้อนุพันธ์อันดับสองคือ: (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -2 ทีนี้อนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ ดังนั้นฟังก์ชั่นนี้เท่านั้นที่มี extrema & no minima ดังนั้นจุดสูงสุดคือ -2 ค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ f (-2) หวังว่าจะช่วย :) อ่านเพิ่มเติม »

มาดูกัน. ปล่อยให้ฟังก์ชั่นเป็น y เช่นนั้น rarr สำหรับค่าใด ๆ ของ x ในช่วงที่กำหนด y = f (x) = - 3x ^ 2 + 30x-74: .dy / dx = -6x + 30:. (d ^ 2y) / dx ^ 2 = -6 ทีนี้เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันคือ ค่าลบของ f (x) จะเป็นค่าสูงสุด ดังนั้นสามารถหาจุดสูงสุดหรือ extrema ได้เท่านั้น ทีนี้ไม่ว่าจะสำหรับ maxima หรือ minima, dy / dx = 0: .- 6x + 30 = 0: .6x = 30: .x = 5 ดังนั้นจุดสูงสุดคือ 5 (คำตอบ) ดังนั้นค่าสูงสุดหรือค่าสูงสุดของ f (x) คือ f (5) : .f (5) = - 3 (5) ^ 2 + 30.5-74: .f (5) = - 75 + 150-74: .f (5) = 150-149: .f (5) = 1 . หวังว่าจะช่วย :) อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นไม่มี extrema ค้นหา f '(x) ผ่านกฎความฉลาดทาง f '(x) = ((x ^ 2-1) d / dx (3x) -3xd / dx (x ^ 2-1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (3 (x ^ 2 2 -1) -3x (2x)) / (x ^ 2-1) ^ 2 => (- 3 (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2-1) ^ 2 ค้นหาจุดเปลี่ยนของฟังก์ชั่น สิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ 0 f '(x) = 0 เมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 -3 (x ^ 2 + 1) = 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' (x) ไม่เคยเท่ากับ 0 ดังนั้นฟังก์ชั่นนี้จึงไม่มี extrema กราฟ {(3x) / (x ^ 2-1) [-25.66, 25.66, -12.83, 12.83]} อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นมีค่าต่ำสุดที่ x = 3 โดยที่ f (3) = - 35 f (x) = 4x ^ 2-24x + 1 อนุพันธ์อันดับ 1 ให้เราไล่ระดับสีของเส้นตรงจุดใดจุดหนึ่ง หากนี่คือจุดที่หยุดนิ่งนี่จะเป็นศูนย์ f '(x) = 8x-24 = 0: .8x = 24 x = 3 เพื่อดูว่าจุดที่อยู่กับที่ประเภทใดเราสามารถทดสอบเพื่อดูว่าอนุพันธ์อันดับ 1 เพิ่มขึ้นหรือลดลง สิ่งนี้ได้มาจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2: f '' (x) = 8 เนื่องจากนี่คือ + ve อนุพันธ์อันดับที่ 1 จะต้องเพิ่มขึ้นเพื่อระบุขั้นต่ำสำหรับ f (x) กราฟ {(4x ^ 2-24x + 1) [-20, 20, -40, 40]} ที่นี่ f (3) = 4xx3 ^ 2- (24xx3) + 1 = -35 อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุดที่ x = 1 และ Min x = 0 หาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นดั้งเดิม: f '(x) = 18x-18x ^ 2 ตั้งค่าเป็น 0 เพื่อหาตำแหน่งที่ฟังก์ชันอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่จะบอกเราว่าเมื่อใดที่ฟังก์ชันดั้งเดิมจะมีการเปลี่ยนแปลงความชันจากบวกเป็นลบ 0 = 18x-18x ^ 2 ปัจจัย 18x จากสมการ 0 = 18x (1-x) x = 0,1 สร้างบรรทัดและพล็อตค่า 0 และ 1 ป้อนค่าก่อน 0 หลังจาก 0, ก่อน 1, และหลัง 1 จากนั้นระบุว่าส่วนใดของพล็อตบรรทัดเป็นบวกและลบ หากพล็อตเปลี่ยนจากค่าลบไปเป็นค่าบวก (จุดต่ำถึงจุดสูง) มันจะเป็นค่าขั้นต่ำถ้ามันไปจากค่าบวกเป็นลบ (สูงไปต่ำ) จะเป็นค่าสูงสุด ค่าทั้งหมดก่อน 0 ในฟังก์ชันอนุพันธ์นั้นเป็นลบ หลังจาก 0 พวกเขาเป็นบวก, หลังจากที่ 1 พวกเขาเป็ อ่านเพิ่มเติม »

ค้นหาค่าวิกฤตในช่วงเวลา (เมื่อ f '(c) = 0 หรือไม่มีอยู่) f (x) = 64-x ^ 2 f '(x) = - 2x ตั้งค่า f' (x) = 0 -2x = 0 x = 0 และ f '(x) ถูกกำหนดไว้เสมอ หากต้องการค้นหา extrema ให้เสียบจุดสิ้นสุดและค่าวิกฤต ขอให้สังเกตว่า 0 ตรงกับเกณฑ์ทั้งสองนี้ f (-8) = 0larr "สัมบูรณ์ต่ำสุด" f (0) = 64larr "สัมบูรณ์สูงสุด" กราฟ {64-x ^ 2 [-8, 0, -2, 66]} อ่านเพิ่มเติม »

F (x)> 0 สูงสุด f (x) isf (0) = 1 แกน x เป็น asymptotic ถึง f (x) ในทั้งสองทิศทาง f (x)> 0 การใช้ฟังก์ชั่นของกฎฟังก์ชั่น y '= - 2xe ^ (- x ^ 2) = 0, ที่ x = 0 y' '= - 2e ^ (- x ^ 2) -2x (- 2x) e ^ (- x ^ 2) = - 2, ที่ x = 0 ที่ x = 0, y '= 0 และ y' '<0 ดังนั้น f (0) = 1 คือค่าสูงสุดสำหรับ f (x ), ตามความจำเป็น, . 1 ใน [-.5, a], a> 1. x = 0 เป็น asymptotic ถึง f (x) ทั้งสองทิศทาง ในฐานะที่เป็น xto + -oo, f (x) ถึง 0 ที่น่าสนใจกราฟของ y = f (x) = e ^ (- x ^ 2) คืออัตราส่วน (1 หน่วย = 1 / sqrt (2 pi)) สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นปกติโดยมีค่าเฉลี่ย = 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = 1 / sqrt 2 อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ -512 ที่ x = 8 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ 1/32 ที่ x = 1/16 เมื่อค้นหา extrema ในช่วงเวลามีสองตำแหน่งที่สามารถเป็นได้: ที่ค่าวิกฤตหรือที่หนึ่งในจุดสิ้นสุด ของช่วงเวลา ในการค้นหาค่าวิกฤตให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตั้งค่าเป็น 0 ตั้งแต่ f (x) = - 8x ^ 2 + x ผ่านกฎกำลังเรารู้ว่า f '(x) = - 16x + 1 การตั้งค่านี้เท่ากับ 0 ทำให้เรามีค่าวิกฤตหนึ่งค่าที่ x = 1/16 ดังนั้นที่ตั้งของเราสำหรับ maxima และ minima ที่อาจเกิดขึ้นคือ x = -4, x = 1/16 และ x = 8 ค้นหาค่าฟังก์ชันแต่ละรายการ: f (-4) = - 8 (-4) ^ 2-4 = ul (-132) f (1/16) = - 8 (1/16) ^ 2 + 1/16 = -1 / 32 + 1/16 = ul (1/32) f (8) = - 8 (8) ^ 2 + 8 = ul (-504) เนื่ อ่านเพิ่มเติม »

X = -3 หรือ x = -1 f = e ^ x, g = x ^ 2 + 2x + 1 f '= e ^ x, g' = 2x + 2 f '(x) = fg' + gf '= e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1) = 0 e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 e ^ x (x + 3) (x + 1) = 0 e ^ x = 0 หรือ x + 3 = 0 หรือ x + 1 = 0 เป็นไปไม่ได้ x = -3 หรือ x = -1 f ( -3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 0.199-> max f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0-> นาที อ่านเพิ่มเติม »

Extrema อยู่ที่ x = 2; ได้มาจากการแก้ f '(x) = 0 f' (x) = 2x -4 = 0; ลองดูกราฟที่จะช่วย กราฟ {x ^ 2-4x + 3 [-5, 5, -5, 5]} แก้หา x โดยทั่วไปแล้วคุณจะพบอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอนุพันธ์อันดับสองเพื่อค้นหาเอกภพ แต่ในกรณีนี้มันค่อนข้างง่ายเพียงแค่หาอนุพันธ์อันดับแรก ทำไม? คุณน่าจะตอบคำถามนี้ได้ f (x) = x ^ 2 - 4x + 3; f '(x) = 2x -4; f '' = 2 ค่าคงที่ตอนนี้ตั้งค่า f '(x) = 0 และแก้หา ==> x = 2 อ่านเพิ่มเติม »

แยกเอาค่าลบ: f (x) = - [sin ^ 2 (ln (x ^ 2)) + cos ^ 2 (ln (x ^ 2))] เรียกคืนบาปนั้น ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1: f ( x) = - 1 f เป็นฟังก์ชันคงที่ มันไม่มี extrema สัมพัทธ์และเป็น -1 สำหรับค่าทั้งหมดของ x ระหว่าง 0 ถึง 2pi อ่านเพิ่มเติม »

เนื่องจาก f (x) หาอนุพันธ์ได้ทุกที่เพียงหาที่ f '(x) = 0 f' (x) = sin (x) -cos (x) = 0 แก้ปัญหา: sin (x) = cos (x) ตอนนี้เช่นกัน ใช้วงกลมหน่วยหรือวาดกราฟของทั้งสองฟังก์ชั่นเพื่อกำหนดว่าพวกเขาอยู่ที่ไหน: ในช่วงเวลา [0,2pi] ทั้งสองคำตอบคือ: x = pi / 4 (ขั้นต่ำ) หรือ (5pi) / 4 (สูงสุด) ความหวัง ที่ช่วย อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดคือ f (9) และค่าสูงสุดคือ f (-4) f '(x) = 2x-192 ดังนั้นจึงไม่มีหมายเลขวิกฤติสำหรับ f ในช่วงเวลาที่เลือก ดังนั้นขั้นต่ำและสูงสุดเกิดขึ้นที่จุดสิ้นสุด f (-4) = 16 + 192 (4) +8 เป็นจำนวนบวกอย่างชัดเจนและ f (9) = 81-192 (9) +4 เป็นลบอย่างชัดเจน ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ f (9) และค่าสูงสุดคือ f (-4) อ่านเพิ่มเติม »

(3,2) เป็นขั้นต่ำ (1,6) และ (6,11) เป็นสูงสุด Extrema สัมพันธ์เกิดขึ้นเมื่อ f '(x) = 0 นั่นคือเมื่อ 2x-6 = 0 เช่นเมื่อ x = 3 ในการตรวจสอบว่า x = 3 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์หรือค่าสูงสุดเราสังเกตว่า f '' (3)> 0 และดังนั้น => x = 3 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์นั่นคือ (3, f (3)) = (3 2) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์เนื่องจากเป็นฟังก์ชันกำลังสอง เนื่องจาก f (1) = 6 และ f (6) = 11 หมายความว่า (1,6) และ (6,11) เป็น maxima สัมบูรณ์ในช่วงเวลา [1,6] กราฟ {x ^ 2-6x + 11 [-3.58, 21.73, -0.37, 12.29]} อ่านเพิ่มเติม »

ค่าสูงสุดที่สัมพันธ์กันที่ (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรก: f (x) '= -2x + 5 ค้นหาจำนวนวิกฤติ: f' (x) = 0; x = 5/2 ใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่ 2 เพื่อดูว่าจำนวนวิกฤตเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือไม่ หรือนาทีขั้นต่ำ: f '' (x) = -2; f '' (5/2) <0; ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ที่ x = 5/2 ค้นหาค่า y ของค่าสูงสุด: f (5/2) = - (5/2) ^ 2 + 5 (5/2) - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ (5/2, 21/4) = (2.5, 5.25) อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุดที่ x = 4 กราฟ {x ^ 2-8x + 12 [-10, 10, -5, 5]} ให้ไว้ - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4 (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 ที่ x = 4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีค่าต่ำสุดที่ x = 4 อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นที่ให้ไว้จะลดลงเรื่อย ๆ ดังนั้นจึงไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ y '= (2x (x ^ 2-3x) -x ^ 2 (2x-3)) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = = (ยกเลิก (2x ^ 3) -6x ^ 2 ยกเลิก (-2x ^ 3) + 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 = (- 3x ^ 2) / (x ^ 2-3x) ^ 2 และ y '<0 AA x ใน [4; 9] ฟังก์ชั่นที่กำหนดฟังก์ชั่นที่ลดลงเสมอและดังนั้นจึงไม่มีกราฟสูงสุดหรือต่ำสุด {x ^ 2 / (x ^ 2-3x) +8 [-0.78, 17 , 4.795, 13.685]} อ่านเพิ่มเติม »

เรามีจุดต่ำสุดที่ x = 0 และจุดเปลี่ยนที่ x = 3 จุดสูงสุดคือจุดสูงสุดที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแล้วตกอีกครั้ง เช่นความชันของแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้นจะเป็นศูนย์ นอกจากนี้เมื่อแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของแม็กซิม่าจะเอียงขึ้นไปจากนั้นแฟบและจากนั้นลาดลงด้านล่างความชันของแทนเจนต์จะลดลงอย่างต่อเนื่องเช่นค่าของอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นค่าลบ ในอีกด้านหนึ่งเป็นจุดต่ำสุดที่ฟังก์ชั่นตกแล้วเพิ่มขึ้นอีกครั้ง เช่นแทนเจนต์หรือค่าของอนุพันธ์ที่ minima ก็จะเป็นศูนย์ แต่เนื่องจากแทนเจนต์ทางด้านซ้ายของ minima จะเอียงลงจากนั้นแฟบและจากนั้นขึ้นไปทางลาดชันของ tangent จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องหรือมูลค่าของอนุพันธ์อันดับสองจะเป็นบวก หากอนุพันธ์อันดั อ่านเพิ่มเติม »

ขั้นต่ำ: f (-2) = 1 สูงสุด: f (+2) = 9 ขั้นตอน: ประเมินจุดสิ้นสุดของโดเมนที่กำหนด f (-2) = (- 2) ^ 3-2 (-2) +5 = -8 + 4 + 5 = สี (แดง) (1) f (+2) = 2 ^ 3-2 (2) +5 = 8-4 + 5 = สี (แดง) (9) ประเมินฟังก์ชันที่จุดวิกฤติใด ๆ ภายใน โดเมน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ค้นหาจุดภายในโดเมนที่ f '(x) = 0 f' (x) = 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt (2/3) " หรือ "x = -sqrt (2/3) f (sqrt (2/3)) ~~ สี (แดง) (3.9) (และไม่ฉันไม่ได้คิดด้วยมือนี้) f (-sqrt (2) /3))~color(red)(~6.1) ขั้นต่ำ {color (สีแดง) (1, 9, 3.9, 6.1)} = 1 ที่ x = -2 สูงสุด {color (สีแดง) (1,9,3.9) , 6.1)} = 9 ที่ x = + 2 นี่คือกราฟสำหรับการตรวจสอบ: กราฟ อ่านเพิ่มเติม »

สุดยอดของฟังก์ชันคือ (4.5, -0.25) f (x) = (x-4) (x-5) สามารถเขียนใหม่เป็น f (x) = x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9x + 20 หากคุณทำหน้าที่ของฟังก์ชันคุณจะพบกับสิ่งต่อไปนี้: f '(x) = 2x - 9. ถ้าคุณไม่ทำหน้าที่ของฟังก์ชันเหล่านี้ให้ตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติม คุณต้องการทราบว่า f '(x) = 0, เพราะนั่นคือที่ที่การไล่ระดับสี = 0 ใส่ f' (x) = 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5 จากนั้นใส่ค่าของ x ลงในฟังก์ชั่นดั้งเดิม f (4.5) = (4.5 - 4) (4.5-5) f (4.5) = 0.5 * (-0.5) f (4.5) = -0.25 หลักสูตร Crach เกี่ยวกับวิธีการใช้ฟังก์ชันประเภทนี้: คูณเลขชี้กำลังด้วยฐาน ตัวเลขและลดเลขยกกำลัง 1 ตัวอย่าง: f (x) = 3x ^ 3 - 2x ^ 2 - 2x + 3 f ' อ่านเพิ่มเติม »

ค้นหาค่าวิกฤตของ f (x) ในช่วงเวลา [0,5] f '(x) = ((x ^ 2 + 9) d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = (x ^ 2 + 9-2x ^ 2) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f '(x) = - (x ^ 2-9) / (x ^ 2 + 9) ^ 2 f' (x) = 0 เมื่อ x = + - 3 f '(x) ไม่เคยไม่ได้กำหนด ในการค้นหา extrema ให้เสียบจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและตัวเลขสำคัญใด ๆ ที่อยู่ในช่วงเวลานั้นลงใน f (x) ซึ่งในกรณีนี้มีเพียง 3 f (0) = 0larr "สัมบูรณ์ต่ำสุด" f (3) = 1 / 6larr "สัมบูรณ์สูงสุด" f (5) = 5/36 ตรวจสอบกราฟ: กราฟ {x / (x ^ 2 + 9) [-0.02, 5, -0.02, 0.2]} อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มี extrema สัมบูรณ์และการมีอยู่ของ extrema ที่สัมพันธ์กันขึ้นอยู่กับนิยามของ extrema ที่สัมพันธ์กันของคุณ f (x) = x / (x-2) เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อ จำกัด เท่ากับ xrarr2 จากด้านขวา นั่นคือ: lim_ (xrarr2 ^ +) f (x) = oo ดังนั้นฟังก์ชั่นนี้จะไม่มีค่าสูงสุดแน่นอนเมื่อ [-5,5] f ลดลงโดยไม่มีข้อ จำกัด เท่ากับ xrarr2 จากทางซ้ายดังนั้นจึงไม่มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ใน [-5 5] ตอนนี้ f '(x) = (-2) / (x-2) ^ 2 เป็นค่าลบเสมอดังนั้นการใช้โดเมนเป็น [-5,2) uu (2,5]) ฟังก์ชันจะลดลงเมื่อ [- 5,2) และ (2,5) สิ่งนี้บอกเราว่า f (-5) เป็นค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ f ใกล้เคียงโดยพิจารณาเฉพาะค่า x ในโดเมนเท่านั้นมันเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ด้านเดียว อนุญาต อ่านเพิ่มเติม »

X = + - pi / 4 สำหรับ x ใน [-pi / 2, pi / 2] g (x) = 2sin (2x-pi) +4 g (x) = -2sin (2x) +4 สำหรับ extrema ของ g ( x), g '(x) = 0 g' (x) = -4cos (2x) g '(x) = 0 -4cos (2x) = 0 cos (2x) = 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4 สำหรับ x ใน [-pi / 2, pi / 2] อ่านเพิ่มเติม »

Extrema อยู่ที่ x = + - 1 และ x = + - sqrt (1/35) h (x) = 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h '(x) = 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1 ปัจจัยเพิ่ม '(x) และทำให้มันเท่ากับศูนย์มันจะเป็น (35x ^ 2 -1) (x ^ 2-1) = 0 ดังนั้นจุดวิกฤติจึง + -1, + -sqrt (1/35) h' '( x) = 140x ^ 3-72x สำหรับ x = -1, h '' (x) = -68, ดังนั้นจะมี maxima ที่ x = -1 สำหรับ x = 1, h '' (x) = 68, ดังนั้น จะมีค่าต่ำสุดที่ x = 1 สำหรับ x = sqrt (1/35), h '' (x) = 0.6761- 12.1702 = - 11.4941 ดังนั้นจึงจะมีค่าสูงสุดที่จุดนี้สำหรับ x = # -sqrt (1 / 35), h '' (x) = -0.6761 + 12.1702 = 11.4941 ดังนั้นจะมีจุดต่ำสุดในจุดนี้ อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดคือ (1/4, -27 / 256) และค่าสูงสุดคือ (1,0) y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1 สำหรับจุดที่อยู่นิ่ง dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0 (x-1) (4x ^ 2-5x + 1) = 0 (x-1) ^ 2 (4x- 1) = 0 x = 1 หรือ x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6 การทดสอบ x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0 ดังนั้นจึงเป็นจุดแนวนอนที่เป็นไปได้ของการติดเชื้อ (ใน คำถามนี้คุณไม่จำเป็นต้องค้นหาว่ามันเป็นจุดในแนวนอนหรือไม่) การทดสอบ x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0 ดังนั้นขั้นต่ำและเว้าที่ x = 1/4 ทีนี้หาค่า x-intercepts ให้ y = 0 (x ^ 3-x) (x-3) = 0 x (x ^ 2-1) (x-3) = 0 x = 0, + - 1,3 หาค่าตัดแกน y, ให้ x = 0 y = 0 (0,0) กราฟ อ่านเพิ่มเติม »

คำตอบคือ: y '' = (- x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4 นี่คือเหตุผล: y '= (((cosx + x * (- sinx) -cosx) x ^ 2- (xcosx-sinx) * 2x)) / x ^ 4 = = (- x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx) / x ^ 4 = = (- x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) / x ^ 3 y '' = ((- 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x (-sinx) + 2cosx) x ^ 3- ( -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx) * 3x ^ 2) / x ^ 6 = = ((- - x ^ 2cosx) x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx) / x ^ 6 = = ( -x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx) / x ^ 4 อ่านเพิ่มเติม »

เราเขียน f เป็น f (x) = 2x ^ 7 * (1-1 / x ^ 2) แต่ lim_ (x-> oo) f (x) = oo ดังนั้นจึงไม่มี extrema ทั่วโลก สำหรับ extrema ท้องถิ่นเราจะหาจุดที่ (df) / dx = 0 f '(x) = 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 * (7 * x ^ 2-5 ) = 0 => x_1 = sqrt (5/7) และ x_2 = -sqrt (5/7) ดังนั้นเราจึงมีค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่ x = -sqrt (5/7) คือ f (-sqrt (5/7)) = 100/343 * sqrt (5/7) และต่ำสุดในท้องถิ่นที่ x = sqrt (5/7) คือ f (sqrt (5/7)) = - 100/343 * sqrt (5/7) อ่านเพิ่มเติม »

Extrema ท้องถิ่นคือ (0,6) และ (1 / 3,158 / 27) และ Extrema ทั่วโลกเป็น + -oo เราใช้ (x ^ n) '= nx ^ (n-1) ให้เราหาอนุพันธ์ f แรก' ( x) = 24x ^ 2-8x สำหรับ extrema f '(x) = 0 ดังนั้น 24x ^ 2-8x = 8x (3x-1) = 0 x = 0 และ x = 1/3 ลองทำแผนภูมิสัญญาณ xcolor (สีขาว) (aaaaa) -oocolor (สีขาว) (aaaaa) 0 สี (สีขาว) (aaaaa) 1 / 3color (สีขาว) (aaaaa) + oo f '(x) สี (สีขาว) (aaaaa) + สี (สีขาว) ( aaaaa) - color (white) (aaaaa) + f (x) color (white) (aaaaaa) uarrcolor (white) (aaaaa) darrcolor (white) (aaaaa) uarr ดังนั้น ณ จุด (0,6) เรามีคนในท้องถิ่น สูงสุดและที่ (1 / 3,158 / 27) เรามีจุดที่ inflexion f '' (x) อ่านเพิ่มเติม »

F (x) มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ (-1. 0) f (x) มีค่าสูงสุดในท้องถิ่นที่ (-3, 4e ^ -3) f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) [กฎผลิตภัณฑ์] = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) สำหรับ extrema แบบสัมบูรณ์หรือท้องถิ่น: f '(x) = 0 นั่นคือที่: e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 ตั้งแต่ e ^ x> 0 forall x ใน RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0 (x + 3) ( x-1) = 0 -> x = -3 หรือ -1 f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) [กฎผลิตภัณฑ์] = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) อีกครั้งเนื่องจาก e ^ x> 0 เราต้องการเพียงทดสอบเครื่องหมาย (x ^ 2 + 6x + 7) ที่จุด extrema ของเราเพื่อตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นจุดสูงสุดหรือ อ่านเพิ่มเติม »

(0,0) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่นและ (4 / 3,32 / 27) เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น ไม่มี Extrema ทั่วโลก ก่อนอื่นให้คูณวงเล็บเพื่อทำให้การจำแนกง่ายขึ้นและรับฟังก์ชั่นในรูปแบบ y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 ตอนนี้ extrema ท้องถิ่นหรือญาติหรือจุดเปลี่ยนเกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์ f '(x) = 0 นั่นคือเมื่อ 4x-3x ^ 2 = 0, => x (4-3x) = 0 => x = 0 หรือ x = 4/3 ดังนั้น f (0) = 0 (2-0) = 0 และ f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27 เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสอง f '' (x) = 4-6x มีค่าเป็น f '' (0) = 4> 0 และ f '' (4/3) = - 4 <0, มันหมายความว่า (0,0 ) เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่นและ (4 / 3,32 / 27) เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น ค่าต่ำสุ อ่านเพิ่มเติม »

Local: x = -2, 0, 2 Global: (-2, -32), (2, 32) ในการค้นหา extrema คุณเพียงแค่หาจุดที่ f '(x) = 0 หรือไม่ได้กำหนด ดังนั้น: d / dx (x ^ 3 + 48 / x) = 0 เพื่อให้นี่เป็นปัญหากฎพลังงานเราจะเขียน 48 / x เป็น 48x ^ -1 ตอนนี้: d / dx (x ^ 3 + 48x ^ -1) = 0 ทีนี้เราแค่หาอนุพันธ์นี้ เราลงท้ายด้วย: 3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0 เริ่มจากเลขชี้กำลังเป็นลบไปเป็นเศษส่วนอีกครั้ง: 3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0 เราสามารถเห็นว่าหนึ่งใน extrema ของเราจะเกิดขึ้นที่ใด: f '(x ) ไม่ได้ถูกกำหนดที่ x = 0 เนื่องจาก 48 / x ^ 2 ดังนั้นนั่นเป็นหนึ่งใน extrema ของเรา ต่อไปเราจะแก้ไขเพื่อคนอื่น ๆ ในการเริ่มต้นเราคูณทั้งสองด้านด้วย x ^ 2 เพื่อกำจัดเศษส่วน: 3x ^ อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มีส่วนขยายระดับโลก มันมีค่าสูงสุดในท้องถิ่นของ f ((- 4-sqrt31) / 3) = (308 + 62sqrt31) / 27 และต่ำสุดในระดับท้องถิ่นของ f ((- 4 + sqrt31) / 3) = (308-62sqrt31) / 27 สำหรับ f (x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x, lim_ (xrarr-oo) f (x) = - oo ดังนั้น f จึงไม่มีขั้นต่ำระดับโลก lim_ (xrarroo) f (x) = oo ดังนั้น f จึงไม่มีค่าสูงสุดทั่วโลก f '(x) = 3x ^ 2 + 8x-5 ไม่เคยไม่ได้ถูกกำหนดและคือ 0 ที่ x = (- 4 + -sqrt31) / 3 สำหรับตัวเลขที่ห่างจาก 0 (ทั้งบวกและลบ) f' (x) เป็นค่าบวก . สำหรับตัวเลขใน ((-4-sqrt31) / 3, (- 4 + sqrt31) / 3), 3f '(x) เป็นค่าลบ เครื่องหมายของ f '(x) เปลี่ยนจาก + เป็น - เมื่อเราเลื่อนผ่าน x อ่านเพิ่มเติม »

Local extrema: x = -1/3 และ x = 1 Global extrema: x = + - infty Local extrema เรียกอีกอย่างว่า maxima & minima หรือบางครั้งจุดวิกฤติเป็นสิ่งที่พวกเขาฟัง: เมื่อฟังก์ชั่นมาถึงจุดสูงสุดสั้น ๆ หรือ ขั้นต่ำสั้น ๆ พวกเขาถูกเรียกว่าท้องถิ่นเพราะเมื่อคุณกำลังมองหาจุดวิกฤติคุณมักจะสนใจเฉพาะความหมายสูงสุดในพื้นที่ใกล้เคียงของจุดนั้นเท่านั้น การค้นหาจุดวิกฤติในท้องถิ่นนั้นค่อนข้างง่าย ค้นหาเมื่อฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลงและฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อ - คุณเดาได้ - อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ แอปพลิเคชันที่เรียบง่ายของกฎกำลังจะให้ f '(x), f' (x) = 3x ^ 2 -2x - 1 เรากังวลเมื่อนิพจน์นี้มีค่าเท่ากับศูนย์: 0 = 3x ^ 2 - 2x - 1 ตอนนี้เรา อ่านเพิ่มเติม »

ที่ (2, -9) มีค่าน้อยที่สุด ป.ร. ให้ไว้ - y = x ^ 2-4x-5 ค้นหา dy สองอนุพันธ์แรก / dx = 2x-4 Maxima และ Minima จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์อันดับสอง (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2> 0 dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 ที่ x = 2; y = 2 ^ 2-4 (2) -5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9 เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองมากกว่าหนึ่ง ที่ (2, -9) มีค่าน้อยที่สุด อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x มีขั้นต่ำในท้องถิ่นสำหรับ x = 1 และสูงสุดในท้องถิ่นสำหรับ x = 3 เรามี: f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x the ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้ใน RR ทั้งหมดเป็น x ^ 2 + 3> 0 AA x เราสามารถระบุจุดวิกฤติโดยการค้นหาว่าอนุพันธ์อันดับแรกเท่ากับศูนย์: f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) - 1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 ดังนั้นจุดวิกฤติคือ: x_1 = 1 และ x_2 = 3 เนื่องจากตัวส่วนเป็นบวกเสมอเครื่องหมายของ f '(x) อยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายของ ตัวเศษ (x ^ 2-4x + 3) ทีนี้เรารู้ว่าพหุนามอันดับที่สองที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็นบวกเป็นบวกนอกช่วงเวลาซึ่ง อ่านเพิ่มเติม »

โปรดดูคำอธิบายด้านล่างฟังก์ชั่นคือ f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 อนุพันธ์บางส่วนคือ (delf) / (delx) = 2x + y + 3 (delf) / (dely) = 2y + x-3 ให้ (delf) / (delx) = 0 และ (delf) / (dely) = 0 จากนั้น, {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} =>, {(x = -3), (y = 3):} (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 เมทริกซ์ของ Hessian คือ Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) ตัวกำหนดคือ D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | = 4-1 = 3> 0 ดังนั้นจึงไม่มีจุดอาน D (1,1)&g อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุดท้องถิ่น 80 (ที่ x = -1) และต่ำสุดในท้องถิ่นที่ -80 (ที่ x = 1. f (x) = 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f '(x) = 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2 (x ^ 2 - 1) หมายเลขวิกฤตคือ: 1, 0, และ 1 สัญลักษณ์ของการเปลี่ยนแปลงของ f 'จาก + เป็น - เมื่อเราผ่าน x = -1 ดังนั้น f (-1) = 80 เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น . (เนื่องจาก f เป็นเลขคี่เราสามารถสรุปได้ทันทีว่า f (1) = - 80 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ f (0) ไม่ใช่ extremum ในพื้นที่) สัญลักษณ์ของ f 'ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราผ่าน x = 0 ดังนั้น f (0) ไม่ใช่ extremum ท้องถิ่นเครื่องหมายของ f 'เปลี่ยนจาก - เป็น + เมื่อเราผ่าน x = 1 ดังนั้น f (1) = -80 เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น อ่านเพิ่มเติม »

โลคอลสูงสุดที่ 13 ที่ 1 และต่ำสุดในท้องถิ่นที่ 0 ที่ 0 โดเมนของ f คือ RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 ที่ x = -1 และ f' (x) ไม่มีอยู่ที่ x = 0 ทั้ง -1 และ 9 อยู่ในโดเมนของ f ดังนั้นทั้งคู่จึงเป็นจำนวนวิกฤต การทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรก: เปิด (-oo, -1), f '(x)> 0 (เช่นที่ x = -2 ^ 15) เปิด (-1,0), f' (x) <0 (เช่นที่ x = -1 / 2 ^ 15) ดังนั้น f (-1) = 13 เป็นค่าสูงสุดในพื้นที่ บน (0, oo), f '(x)> 0 (ใช้ค่าบวกขนาดใหญ่ใด ๆ x) ดังนั้น f (0) = 0 เป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่น อ่านเพิ่มเติม »

ไม่มี extremas ท้องถิ่นใน RR ^ n สำหรับ f (x) ก่อนอื่นเราจะต้องหาอนุพันธ์ของ f (x) dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7 ดังนั้น f '(x) = 6x ^ 2- 6x + 7 เพื่อแก้หา extremas ในพื้นที่เราต้องตั้งค่าอนุพันธ์เป็น 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 ตอนนี้เราได้กด ปัญหา. มันคือ x inCC ดังนั้น Extremas ในพื้นที่นั้นซับซ้อน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราเริ่มด้วยการแสดงออกลูกบาศก์มันคือศูนย์ที่ซับซ้อนสามารถเกิดขึ้นได้ในการทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรก ในกรณีนี้ไม่มี extremas ท้องถิ่นใน RR ^ n สำหรับ f (x) อ่านเพิ่มเติม »

สูงสุด f คือ f (5/2) = 69.25 f ต่ำสุดคือ f (-3/2) = 11.25 d / dx (f (x)) = - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0, เมื่อ x = 5/2 และ -3/2 อนุพันธ์อันดับสองคือ -12x + 12 = 12 (1-x) <0 at x = 5/2 และ> 0 ที่ x = 3/2 ดังนั้น f (5/2) คือ local (สำหรับ finite x) สูงสุดและ f (-3/2) คือ local (for finite x) ขั้นต่ำ เช่น xto oo, fto -oo และ xto-oo, fto + oo .. อ่านเพิ่มเติม »

Local max at x = -2 min ท้องถิ่นที่ x = 4 f (x) = 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f '(x) = 6x ^ 2 - 12x - 12x - 48 = 6 (x ^ 2 - 2x - 8) = 6 (x-4) (x + 2) หมายถึง f '= 0 เมื่อ x = -2, 4 f' '= 12 (x - 1) f' '(- 2) = -36 <0 เช่น max f '' (4) = 36> 0 เช่น min min สูงสุดทั่วโลกถูกขับเคลื่อนโดยคำที่มีอำนาจเหนือ x ^ 3 ดังนั้น lim_ {x to pm oo} f (x) = pm oo ต้องมีลักษณะเช่นนี้ .. อ่านเพิ่มเติม »

X = {- 3,0,3} extrema ท้องถิ่นเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ความชันเท่ากับ 0 ดังนั้นก่อนอื่นเราต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตั้งค่าเป็น 0 แล้วแก้หา x เพื่อหา x ทั้งหมดที่มี Extrema ท้องถิ่น การใช้กฎการปิดเครื่องเราจะพบว่า f '(x) = 8x ^ 3-72x ตอนนี้ตั้งค่าเป็น 0 8x ^ 3-72x = 0 ในการแก้ปัญหาให้แยก 8x เพื่อรับ 8x (x ^ 2-9) = 0 จากนั้นใช้กฎความแตกต่างของสองกำลังสองแยก x ^ 2-9 เป็นสองปัจจัยเพื่อรับ 8x (x + 3) (x- 3) = 0 ทีนี้ตั้งค่าแต่ละอันแยกกันเท่ากับ 0 เพราะนิพจน์ทั้งหมดจะเป็น 0 เมื่อเทอมใด ๆ คือ 0 นี่ให้ 3 สมการ: 8x = 0, x + 3 = 0, และ x-3 = 0 ในการแก้ปัญหาอันแรกแบ่งทั้งสองข้างด้วย 8 เพื่อให้ได้ x = 0 สำหรับวินาทีให้ลบ 3 จากทั้งสอ อ่านเพิ่มเติม »

Extremum เพียงอย่างเดียวคือ x = 0.90322 ... , ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ แต่คุณต้องแก้สมการลูกบาศก์เพื่อไปที่นั่นและคำตอบนั้นไม่ 'ดี' เลย - คุณแน่ใจหรือไม่ว่าคำถามถูกพิมพ์อย่างถูกต้อง? ฉันยังได้รวมคำแนะนำสำหรับวิธีการเข้าถึงคำตอบโดยไม่ต้องไปสู่จำนวนการวิเคราะห์ที่แสดงด้านล่างอย่างสมบูรณ์ 1. วิธีการมาตรฐานชี้เราไปในทิศทางที่ลำบากก่อนอื่นให้คำนวณอนุพันธ์: f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x ดังนั้น (ตามกฎลูกโซ่และความฉลาด) f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 จากนั้นตั้งค่านี้เท่ากับ 0 และแก้หา x: 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 เรามีสมการลูกบาศก์ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยอนุมูล อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = a (x-2) (x-3) (xb) extrema เชื่อฟัง (df) / dx = a (6 + 5 b - 2 (5 + b) x + 3 x ^ 2) = 0 ทีนี้ถ้า ne 0 เรามี x = 1/3 (5 + b pm sqrt [7 - 5 b + b ^ 2]) แต่ 7 - 5 b + b ^ 2 gt 0 (มีรากที่ซับซ้อน) ดังนั้น f ( x) มีค่าต่ำสุดในท้องถิ่นและค่าสูงสุดในท้องถิ่น เผื่อว่าจะมี ne 0 อ่านเพิ่มเติม »

มีค่าท้องถิ่นขั้นต่ำเป็น 0 ที่ 1 (ซึ่งก็คือระดับโลกด้วย) และค่าสูงสุดในท้องถิ่นคือ 4 / e ^ 2 ที่ e ^ 2 สำหรับ f (x) = (lnx) ^ 2 / x ให้สังเกตก่อนว่าโดเมนของ f คือจำนวนจริงบวก (0, oo) จากนั้นหา f '(x) = ([2 (lnx) (1 / x)] * x - (lnx) ^ 2 [1]) / x ^ 2 = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 f 'ไม่ได้ถูกกำหนดที่ x = 0 ซึ่งไม่ได้อยู่ในโดเมนของ f ดังนั้นจึงไม่ใช่ตัวเลขที่สำคัญสำหรับ f f '(x) = 0 โดยที่ lnx = 0 หรือ 2-lnx = 0 x = 1 หรือ x = e ^ 2 ทดสอบช่วงเวลา (0,1), (1, e ^ 2) และ (e ^ 2, oo ) (สำหรับหมายเลขทดสอบฉันแนะนำ e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 - เรียกคืน 1 = e ^ 0 และ e ^ x เพิ่มขึ้น) เราพบว่า f 'เปลี่ยนจากลบเป็นบวกเมื่อเราผ่าน 1 อ่านเพิ่มเติม »

Extrema ของ f (x) คือ: สูงสุดของ 2 ที่ x = 0 Min ของ 0 ที่ x = 2, -2 เพื่อหา extrema ของฟังก์ชั่นใด ๆ ที่คุณดำเนินการดังต่อไปนี้: 1) ฟังก์ชั่นที่แตกต่าง 2) ตั้งอนุพันธ์ เท่ากับ 0 3) หาค่าตัวแปรที่ไม่รู้จัก 4) แทนคำตอบเป็น f (x) (ไม่ใช่อนุพันธ์) ในตัวอย่างของ f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) สร้างความแตกต่างของฟังก์ชั่น: ตามกฎลูกโซ่ **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) ลดความซับซ้อน: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) ตั้งค่าอนุพันธ์เท่ากับ 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) ตอนนี้เนื่องจากนี่เป็นผลิตภัณฑ์คุณสามารถตั้งค่าแต่ละส่วนให้เท่ากับ 0 และแก้ปัญหา: 3) แก้หาตัวแปรที่ไม่รู้จัก: 0 = - อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มี extrema ในเครื่อง f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 ไม่เคยไม่ได้ถูกกำหนดและเป็น 0 เท่านั้นที่ x = -1 ดังนั้นจำนวนวิกฤติเพียง -1 เนื่องจาก f '(x) เป็นค่าบวกทั้งสองด้านของ -1, f จึงไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่ -1 อ่านเพิ่มเติม »

(0, -1) extrema ท้องถิ่นเกิดขึ้นเมื่อ f '(x) = 0 ดังนั้นหา f '(x) และตั้งค่าเท่ากับ 0 f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 มี extremum ท้องถิ่นที่ (0, -1) ตรวจสอบกราฟ: กราฟ {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} อ่านเพิ่มเติม »