แคลคูลัส

9 คะแนนขั้นต่ำและสัมพัทธ์สัมพันธ์อาจพบได้โดยการตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ f '(x) = 0 iff6x-6 = 0 iff x = 1 ค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องที่ 1 คือ f (1) = 9 ดังนั้นจุด (1,9) จึงเป็นจุดที่สัมพันธ์กันมาก เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวกเมื่อ x = 1, f '' (1) = 6> 0, ก็หมายความว่า x = 1 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เนื่องจากฟังก์ชัน f เป็นพหุนามดีกรีอันดับ 2 กราฟของมันจึงเป็นพาราโบลาและด้วยเหตุนี้ f (x) = 9 จึงเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำสุดของฟังก์ชันเหนือ (-oo, oo) กราฟที่แนบมายังตรวจสอบจุดนี้ กราฟ {3x ^ 2-6x + 12 [-16.23, 35.05, -0.7, 24.94]} อ่านเพิ่มเติม »

ค่าต่ำสุดคือ x = 1-sqrt 5 โดยประมาณ "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) ประมาณ "-" 0.405 ในช่วงเวลาปิดสถานที่ที่เป็นไปได้สำหรับขั้นต่ำจะเป็น: ขั้นต่ำในพื้นที่ภายในช่วงเวลาหรือจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา เราจึงคำนวณและเปรียบเทียบค่าสำหรับ g (x) ที่ x ใด ๆ ใน ["-2", 2] ที่ทำให้ g '(x) = 0 เช่นเดียวกับที่ x = "- 2" และ x = 2 ครั้งแรก: g '(x) คืออะไร? เมื่อใช้กฎความฉลาดทางเราได้รับ: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 สี (สีขาว) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 สี (สีขาว) (g' (x)) = - (x ^ 2-2x- 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 นี่ อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา [1,7] ค่าต่ำสุดของมันคือที่ x = 1 เห็นได้ชัดว่าไม่ได้กำหนด x ^ 2-2x-11 / x ที่ x = 0 อย่างไรก็ตามมันถูกกำหนดในช่วงเวลา [1,7] ตอนนี้อนุพันธ์ของ x ^ 2-2x-11 / x คือ 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) หรือ 2x-2 + 11 / x ^ 2 และมันเป็นค่าบวกตลอด [1,7] ดังนั้นฟังก์ชันคือ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในช่วงเวลา [1,7] และเป็นค่าต่ำสุดของ x ^ 2-2x-11 / x ในช่วง [1,7] อยู่ที่ x = 1 กราฟ {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]} อ่านเพิ่มเติม »

มีค่าต่ำสุดเป็น 0 ทั้งสองอยู่ที่ x = 0 และ x = 1 อันดับแรกเราสามารถเขียนฟังก์ชันนี้ทันทีเป็น g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) ระลึกว่า csc (x) = 1 / sin (x) ทีนี้เพื่อหาค่าต่ำสุดในช่วงเวลาให้จำไว้ว่าพวกมันอาจเกิดขึ้นที่จุดปลายของช่วงเวลาหรือค่าวิกฤตใด ๆ ที่เกิดขึ้นภายในช่วงเวลานั้น ในการค้นหาค่าวิกฤตภายในช่วงเวลาให้ตั้งค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ 0 และเพื่อแยกความแตกต่างของฟังก์ชันเราจะต้องใช้กฎผลิตภัณฑ์ แอพลิเคชันของกฎผลิตภัณฑ์ให้เรา g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) อนุพันธ์เหล่านี้แต่ละตัวให้: d / dx (x) = 1 และผ่าน กฎลูกโซ่: d / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= อ่านเพิ่มเติม »

บันทึก lim_ (xtooo) (4 + 5x) - บันทึก (x-1) = บันทึก (5) lim_ (xtooo) บันทึก (4 + 5x) - บันทึก (x-1) = บันทึก _ (xtooo) (4 + 5x ) / (x-1)) การใช้กฎลูกโซ่: lim_ (xtooo) บันทึก ((4 + 5x) / (x-1)) = lim_ (utoa) บันทึก (lim_ (xtooo) (4 + 5x) / (x- 1)) lim_ (xtooo) (ax + b) / (cx + d) = a / c lim_ (xtooo) (5x + 4) / (x-1) = 5 Lim_ (uto5) บันทึก (u) = log5 อ่านเพิ่มเติม »

-sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นด้านนอก cos (x): -sin (pi / 2x ^ 2-pix) แต่คุณต้องคูณมันด้วยอนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ข้างใน (pi / 2x ^ 2-pix) ทำเทอมนี้ด้วยเทอม อนุพันธ์ของ pi / 2x ^ 2 คือ pi / 2 * 2x = pix อนุพันธ์ของ -pix คือ -pi ดังนั้นคำตอบคือ -sin (pi / 2x ^ 2-pix) * (pix-pi) อ่านเพิ่มเติม »

คำตอบคือ x + arctan (x) โปรดทราบว่า: (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) สามารถเขียนเป็น (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) DX = int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] DX = int [1] DX + int [1 / (1 + x ^ 2)] DX = x + int [1 / ( 1 + x ^ 2)] dx = อนุพันธ์ของ arctan (x) คือ 1 / (1 + x ^ 2) นี่ก็หมายความว่า antiderivative ของ 1 / (1 + x ^ 2) คือ arctan (x) และบนพื้นฐานที่เราสามารถเขียนได้: int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan ( x) ดังนั้น, int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int [1 + 1 / (1 + x ^ 2)] dx = x + arctan (x) + c ดังนั้น antiderivative อ่านเพิ่มเติม »

นี่คือตัวอย่างหนึ่ง ... คุณสามารถมี (nsin (t), mcos (t)) เมื่อ n! = m และ n และ m ไม่เท่ากับ 1 นี่เป็นหลักเพราะ: => x = nsin (t) => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2 (t) => y = mcos (t) => y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2 (t) => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) ใช้ความจริงที่ว่า sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 ( x) = 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1 นี่คือวงรี! โปรดทราบว่าถ้าคุณต้องการวงรีที่ไม่ใช่วงกลมคุณต้องแน่ใจว่า n! = m อ่านเพิ่มเติม »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx ให้ u = sinx จากนั้น du = cosxdx และ intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx อ่านเพิ่มเติม »

43 ความเร็วที่ฉับพลันถูกกำหนดโดย (ds) / dt ตั้งแต่ s (t) = t ^ 3 + 8t ^ 2-t, (ds) / dt = 3t ^ 2 + 16t-1 ที่ t = 2, [(ds) / dt] _ (t = 2) = 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43 อ่านเพิ่มเติม »

เพื่อหาว่าลำดับ a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n รวมกันเราสังเกตว่า a_n เป็น n-> oo lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n ใช้กฎของl'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 เนื่องจาก lim_ (n-> oo) a_n เป็นค่าที่ จำกัด ลำดับมาบรรจบกัน อ่านเพิ่มเติม »

คำตอบคือ (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3) ซึ่งลดความซับซ้อนของ 10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18x-15 ตามกฎของผลิตภัณฑ์ (f g) ′= f′ g + f g ′นี่ก็หมายความว่าเมื่อคุณแยกความแตกต่างของผลิตภัณฑ์คุณทำอนุพันธ์ของที่หนึ่งปล่อยที่สองคนเดียวบวกที่สองที่เหลือ คนแรกเท่านั้น ดังนั้นอันแรกคือ (x ^ 3 - 3x) และอันที่สองจะเป็น (2x ^ 2 + 3x + 5) ตอนนี้อนุพันธ์ของอันแรกคือ 3x ^ 2-3, คูณสอง (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) อนุพันธ์ของวินาทีคือ (2 * 2x + 3 + 0) หรือแค่ (4x + 3) คูณตอนแรกและรับ (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3) เพิ่มทั้งสองส่วนเข้าด้วยกันในตอนนี้: (3x ^ 2-3) * (2x ^ 2 + 3x + 5) + (x ^ 3 - 3x) * (4x + 3) ถ้าคุณคูณมันอ อ่านเพิ่มเติม »

112pi "หรือ" 351.86 cm "/" min สามารถมองเหรียญเป็นกระบอกเล็ก ๆ และปริมาตรของมันได้มาจากสูตร: V = pir ^ 2h เราถูกขอให้ค้นหาว่าปริมาณมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร ซึ่งหมายความว่าเรากำลังมองหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณเมื่อเทียบกับเวลานั่นคือ (dV) / (dt) ดังนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือการแยกความแตกต่างของปริมาตรตามเวลาดังที่แสดงด้านล่าง => (dV) / (dt) = d (pir ^ 2h) / (dt) = pi (2r * (dr) / (dt) + (dh) / (dt)) เราบอกว่า: (dr) / (dt) = 6 ซม. "/" min, (dh) / (dt) = 4 cm "/" min, r = 9 cm และ h = 12 cm => (dV) / (dt) = pi (2 (9) * (6) + (4)) = 112pi ~ = 351.86 cm "/" ขั้นต่ำ อ่านเพิ่มเติม »

2sec (2x) (วินาที ^ 2 (2x) + tan ^ 2 (2x)) y '= (วินาที (2x)) (tan (2x))' + (tan (2x)) (วินาที (2x)) '( กฎผลิตภัณฑ์) y '= (วินาที (2x)) (วินาที ^ 2 (2x)) (2) + (แทน (2x)) (วินาที (2x) แทน (2x) แทน (2x)) (2) (กฎลูกโซ่และอนุพันธ์ของตรีโกณมิติ ) y '= 2sec ^ 3 (2x) + 2sec (2x) tan ^ 2 (2x) y' = 2sec (2x) (วินาที) 2 วินาที (2x) + tan ^ 2 (2x)) อ่านเพิ่มเติม »

กฎผลิตภัณฑ์สำหรับสถานะอนุพันธ์ที่ให้ฟังก์ชัน f (x) = g (x) h (x) อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ f '(x) = g' (x) h (x) h (x) + g (x) h '(x) กฎของผลิตภัณฑ์จะถูกใช้เป็นหลักเมื่อฟังก์ชั่นที่หนึ่งต้องการอนุพันธ์เป็นโจ๋งครึ่มผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชั่นที่สองหรือเมื่อฟังก์ชั่นจะแตกต่างได้ง่ายขึ้นหากมองว่าเป็นผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่น ตัวอย่างเช่นเมื่อดูที่ฟังก์ชัน f (x) = tan ^ 2 (x) จะเป็นการง่ายกว่าที่จะแสดงฟังก์ชั่นเป็นผลิตภัณฑ์ในกรณีนี้คือ f (x) = tan (x) tan (x) ในกรณีนี้การแสดงออกของฟังก์ชั่นเป็นผลิตภัณฑ์นั้นง่ายกว่าเพราะอนุพันธ์พื้นฐานสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ 6 ฟังก์ชัน (sin (x), cos (x), tan (x), csc (x), วินาที (x), cot () อ่านเพิ่มเติม »

Y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) 1 / ln (y) = 3ln (5x-2 ) + 2ln (6x + 1) 2 / (1) / (y) y '= (3) ((1) / (5x-2)) (5) + (2) (1) / (6x + 1 + )) (6) 3 / (1) / (y) y '= (15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1) 4 / y' = y ((15) / (5x- 2) + (12) / (6x + 1)) 5 / y '= (5x-2) ^ 3 (6x + 1) ^ 2 ((15) / (5x-2) + (12) / (6x + 1)) อ่านเพิ่มเติม »

ขีด จำกัด ช่วยให้เราตรวจสอบแนวโน้มของฟังก์ชั่นรอบ ๆ จุดที่กำหนดแม้ว่าจะไม่ได้กำหนดฟังก์ชั่นที่จุดนั้น ให้เราดูฟังก์ชั่นด้านล่าง f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ x = 1, f (1) ไม่ได้ถูกกำหนด อย่างไรก็ตามขีด จำกัด ของมันที่ x = 1 มีอยู่และบ่งชี้ว่าค่าฟังก์ชันใกล้ถึง 2 lim_ {x ถึง 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x ถึง 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = Lim_ {x ถึง 1 } (x + 1) = 2 เครื่องมือนี้มีประโยชน์อย่างมากในแคลคูลัสเมื่อความชันของเส้นสัมผัสเป็นค่าประมาณโดยความชันของเส้นตัดเส้นตัดที่มีจุดตัดใกล้ซึ่งจะกระตุ้นนิยามของอนุพันธ์ อ่านเพิ่มเติม »

Y = x-7 ให้ y = f (x) = x ^ 2-5x + 2 ที่ x = 3, y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4 พิกัดอยู่ที่ (3, -4) ก่อนอื่นเราต้องหาความชันของเส้นสัมผัสที่จุดโดยแยกความแตกต่างของ f (x) และเสียบ x = 3 ตรงนั้น : .f '(x) = 2x-5 ที่ x = 3, f' (x) = f '(3) = 2 * 3-5 = 6-5 = 1 ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสจะมี 1. ตอนนี้เราใช้สูตรจุด - ความชันเพื่อหาสมการของเส้นนั่นคือ: y-y_0 = m (x-x_0) โดยที่ m คือความชันของเส้น (x_0, y_0) เป็นต้นฉบับ พิกัด. ดังนั้น y - (- 4) = 1 (x-3) y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x-7 กราฟแสดงให้เราเห็นว่ามันเป็นจริง: อ่านเพิ่มเติม »

อัตราการเปลี่ยนแปลงของความกว้างพร้อมเวลา (dW) / (dt) = 0.6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt) ) = - 1 "ft / s" So (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) ดังนั้น (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) ดังนั้นเมื่อ h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0.6 "ft / s" อ่านเพิ่มเติม »

อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยให้ความชันของเส้นตัดวงกลมเส้นตัด แต่อัตราการเปลี่ยนแปลงฉับพลัน (อนุพันธ์) ให้ความชันของเส้นสัมผัส อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย: (f (x + h) -f (x)) / h = (f (b) -f (a)) / (ba) โดยที่ช่วงเวลาคือ [a, b] อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที : lim_ (h -> 0) (f (x + h) -f (x)) / h โปรดทราบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยจะใกล้เคียงกับอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีในช่วงเวลาสั้น ๆ อ่านเพิ่มเติม »

Y = cscx = 1 / sinx = (sinx) ^ - 1 เพื่อหาค่าสูงสุด / นาทีเราจะพบอนุพันธ์อันดับแรกและหาค่าที่อนุพันธ์นั้นมีค่าเป็นศูนย์ y = (sinx) ^ - 1: .y '= (- 1) (sinx) ^ - 2 (cosx) (กฎลูกโซ่): .y' = - cosx / sin ^ 2x ที่สูงสุด / นาที, y '= 0 => - cosx / sin ^ 2x = 0: .cosx = 0: .x = -pi / 2, pi / 2, ... เมื่อ x = pi / 2 => y = 1 / sin (pi / 2) = 1 เมื่อ x = -pi / 2 => y = 1 / sin (-pi / 2) = - 1 ดังนั้นจึงมีจุดเปลี่ยนที่ (-pi / 2, -1) และ (pi / 2,1) ถ้าเราดู ที่กราฟของ y = cscx เราสังเกตว่า (-pi / 2, -1) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ (pi / 2,1) เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ กราฟ {csc x [-4, 4, -5, 5]} อ่านเพิ่มเติม »

I = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C เราต้องการแก้ I = int (x ^ 2-2) / (x ^ 3-4x) dx คูณ DEN และ NUM ด้วย x I = int ( x ^ 3-2x) / (x ^ 4-4x ^ 2) dx ตอนนี้เราสามารถทำให้สีการแทนที่ที่ดี (สีแดง) (u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4 ( x ^ 3-2x) dx I = 1 / 4int1 / udu สี (สีขาว) (I) = 1 / 4ln (u) + สี C (สีขาว) (I) = 1 / 4ln (x ^ 4-4x ^ 2) + C อ่านเพิ่มเติม »

ตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง หากมีฟิลด์เวกเตอร์แบบอนุรักษ์นิยม F (x, y, z) = Mdx + Ndy + Pdz ฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพของมันสามารถพบได้ ถ้าฟังก์ชั่นที่อาจเกิดขึ้นคือพูด, f (x, y, z) จากนั้น f_x (x, y, z) = M, f_y (x, y, z) = N และ f_z (x, y, z) = P . จากนั้น f (x, y, z) = int Mdx + C1 f (x, y, z) = int Ndy + C2 และ f (x, y, z) = int Pdz + C3 โดยที่ C1 จะเป็นฟังก์ชันบางอย่างของ y และ z, C2 จะเป็นฟังก์ชันของ x และ z, C3 จะเป็นฟังก์ชันของ x และ y จากสามเวอร์ชันของ f (x, y, z), ฟังก์ชันที่มีศักยภาพ f (x, y, z) สามารถตัดออกได้ . การหยิบยกปัญหาเฉพาะขึ้นมาจะแสดงให้เห็นถึงวิธีการที่ดีขึ้น อ่านเพิ่มเติม »

-1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) เพื่อแยกความแตกต่างนี้เราจะใช้กฎลูกโซ่: เริ่มต้นด้วยการให้ theta = arcsin (1 / x) => sin (theta) = 1 / x ตอนนี้แยกความแตกต่างของแต่ละคำ ทั้งสองข้างของสมการด้วยความเคารพ x => cos (theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 ใช้เอกลักษณ์: cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt (1-sin ^ 2theta) => sqrt (1-sin ^ 2theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 => (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2theta) เรียกคืน: sin (theta) = 1 / x "" และ "" theta = arcsin (1 / x) ดังนั้นเราสามารถเขียนได้ (d (arcsin (1) / x))) / (DX) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1- อ่านเพิ่มเติม »

F '' (x) = 6 / x ^ 4> เขียน f (x) = 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f '(x) = -2x ^ -3 rArr f' '(x) = 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 อ่านเพิ่มเติม »

(4f * g) (x) ให้ P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) จากนั้นใช้กฎผลิตภัณฑ์: P '(x) = f' (x) g ( x) + f (x) g '(x) เมื่อใช้เงื่อนไขที่กำหนดในคำถามเราจะได้รับ: P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 ตอนนี้ใช้กฎพลังงานและโซ่: P' '(x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) การใช้เงื่อนไขพิเศษของคำถามนี้อีกครั้งเราเขียน: P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) อ่านเพิ่มเติม »

H '' (x) = 9 วินาที (3x + 1) [sec ^ 2 (3x + 1) + tan ^ 2 (3x + 1)] ให้ไว้: h (x) = วินาที (3x + 1) ใช้อนุพันธ์ต่อไปนี้ กฎ: (sec u) '= u' sec u tan u; "" (tan u) '= u' sec ^ 2 u กฎผลิตภัณฑ์: (fg) '= f g' + g f 'ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรก: ให้คุณ = 3x + 1; "" u '= 3 h' (u) = 3 วินาที u tan u h '(x) = 3 วินาที (3x + 1) tan (3x + 1) ค้นหาอนุพันธ์ที่สองโดยใช้กฎผลิตภัณฑ์: Let f = 3 วินาที (3x + 1); "" f '= 9 วินาที (3x + 1) แทน (3x + 1) ให้ g = แทน (3x + 1); "" g '= 3 วินาที ^ 2 (3x + 1) h' '(x) = (3 วินาที (3x + 1)) (3 วินาที ^ 2 อ่านเพิ่มเติม »

F '' (x) = วินาที x ( sec ^ 2 x + tan ^ 2 x) ฟังก์ชั่นที่กำหนด: f (x) = sec x แยกความแตกต่าง w.r.t x ดังต่อไปนี้ frac {d} {dx} f (x) = frac {d} {dx} ( sec x) f '(x) = sec x tan x อีกครั้งแยกความแตกต่างของ f' (x) w.r.t. x เราได้รับ frac {d} {dx} f '(x) = frac {d} {dx} ( sec x tan x) f' '(x) = sec x frac {d} { dx} tan x + tan x frac {d} {dx} secx = sec xsec ^ 2 x + tan x sec x tan x = วินาที ^ 3 x + sec x tan ^ 2 x = วินาที x ( sec ^ 2 x + tan ^ 2 x) อ่านเพิ่มเติม »

D ^ 2 / (dx ^ 2) x / (x-1) = 2 / (x-1) ^ 3 สำหรับปัญหานี้เราจะใช้กฎความฉลาด: d / dx f (x) / g (x) = (g (x) f '(x) -f (x) g' (x)) / [g (x)] ^ 2 เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นอีกนิดโดยการหารเพื่อรับ x / (x-1) = 1 + 1 / (x-1) อนุพันธ์อันดับแรก: d / dx (1 + 1 / (x-1)) = (d / dx1) + (d / dx ((x-1) (d / dx1) -1 (d / dx (x-1))) / (x-1) ^ 2) = 0 + ((x-1) (0) - (1) (1) (1)) / (x-1) ^ 2 = - 1 / (x-1) ^ 2 อนุพันธ์อันดับสอง: อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง d ^ 2 / (dx ^ 2) (1 + 1 / (x-1)) = d / dx (-1 / (x-1) ^ 2) = - ((x-1) ^ 2 (d / dx1 ) -1 (d / dx (x-1) ^ 2)) / [(x-1) ^ 2] ^ 2 = - ((x-1) ^ 2 (0) -1 (2 (x-1) )) อ่านเพิ่มเติม »

คำถามที่ 1 หาก f (x) = (g (x)) / (h (x)) จากนั้นตามกฎหารหาร f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) ดังนั้นถ้า f (x) = x / (x-1) ดังนั้นอนุพันธ์อันดับแรกของ f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) และอนุพันธ์อันดับที่สองคือ f '' (x) = 2x ^ -3 คำถาม 2 หาก f (x) = 2 / x สามารถเขียนใหม่เป็น f (x) = 2x ^ -1 และใช้ขั้นตอนมาตรฐานสำหรับการหาอนุพันธ์ของ f '(x) = -2x ^ -2 หรือหากคุณต้องการ f' (x) = - 2 / x ^ 2 อ่านเพิ่มเติม »

Y ^ ('') = (2 * x (x ^ 2 - 24)) / ((16-x ^ 2) * sqrt (16-x ^ 2)) เริ่มต้นด้วยการคำนวณอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันของคุณ y = x * sqrt (16-x ^ 2) โดยใช้กฎผลิตภัณฑ์ สิ่งนี้จะทำให้คุณได้รับ d / dx (y) = [d / dx (x)] * sqrt (16 - x ^ 2) + x * d / dx (sqrt (16 - x ^ 2)) คุณสามารถแยกความแตกต่าง d / dx (sqrt (16 -x ^ 2)) โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับ sqrt (u) โดยมี u = 16 -x ^ 2 d / dx (sqrt (u)) = d / (du) sqrt (u) * d / dx (u) d / dx (sqrt (u)) = 1/2 * 1 / sqrt (u) * d / dx (16-x ^ 2) d / dx (sqrt (16-x ^ 2)) = 1 / สี (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (2))) * 1 / sqrt (16-x ^ 2) * (-color (สีแดง) (ยกเลิก (สี (สีดำ) (2))) x) d / dx (sqrt อ่านเพิ่มเติม »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C เราต้องการค้นหา A, B, C เช่นนั้น 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) สำหรับทุก x คูณทั้งสองข้างด้วย x ^ 2 (2x-1) เพื่อรับ 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB สัมประสิทธิ์เท่ากันให้เรา {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} และดังนั้นเราจึงมี A = -2, B = -1, C = 4 แทนสิ่งนี้ในสมการเริ่มต้นเราได้ 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 ตอนนี้ให้รวมคำด้วยเทอม int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx เพื่อรับ 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C อ่านเพิ่มเติม »

Int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 324 กฎของซิมป์สันกล่าวว่า int_b ^ af (x) dx สามารถประมาณได้โดย h / 3 [y_0 + y_n + 4y_ (n = "คี่") + 2y_ (n = "คู่") h = (ba) / n = (6-0) / 6 = 6/6 = 1 int_0 ^ 6x ^ 3dx ~~ 1/3 [0 + 216 + 4 (1 + 27 + 125) +2 (8 + 64)] = [216 + 4 (153) +2 (72)] / 3 = [216 + 612 + 144] = 972/3 = 324 อ่านเพิ่มเติม »

มันมาบรรจบกันพิจารณาชุด sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p โดยที่ p> 1 โดยการทดสอบ p- ชุดนี้มาบรรจบกัน ตอนนี้ 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p สำหรับขนาดใหญ่พอ n ทั้งหมดตราบใดที่ p เป็นค่า จำกัด ดังนั้นโดยการทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n ลู่เข้าหากัน ในความเป็นจริงค่าประมาณเท่ากับ 2.2381813 อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x ใช้ความแตกต่างแบบลอการิทึม y = (sinx) ^ x lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) (ใช้คุณสมบัติของ ln) แยกความแตกต่างโดยนัย: (ใช้กฎผลิตภัณฑ์และ ruel chain) 1 / y dy / dx = 1ln ( sinx) + x [1 / sinx cosx] ดังนั้นเราจึงมี: 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx แก้หา dy / dx โดยคูณด้วย y = (sinx) ^ x, dy / dx = ( LN (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x อ่านเพิ่มเติม »

= (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 f ' (x) = (f '(x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / (g (x)) ^ 2 f '(x) = ((5 (2x-5 ) ^ 4 * 2) (x ^ 2 + 2) ^ 2) - (2x-5) ^ 5 * (2 (x ^ 2 + 2) * 2x)) / ((x ^ 2 + 2) ^ 2) ^ 2 = (10 (2x-5) ^ 4 * (x ^ 2 + 2) ^ 2 - (2x-5) ^ 5 * 4x (x ^ 2 + 2)) / (x ^ 2 + 2) ^ 4 คุณสามารถลดได้มากขึ้น แต่มันก็น่าเบื่อแก้สมการนี้แค่ใช้วิธีพีชคณิต อ่านเพิ่มเติม »

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2sen (x + 2) (dy ) / (dx) = (2xsen (x ^ 2 + 2) + 2sen (x + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (ยกเลิก 2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (ยกเลิก 2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) อ่านเพิ่มเติม »

เรารู้ว่าชุด Maclaurin ของ e ^ x คือ sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) เรายังสามารถหาซีรี่ย์นี้โดยใช้การขยายตัว Maclaurin ของ f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) และความจริงที่ว่าอนุพันธ์ทั้งหมดของ e ^ x ยังคงเป็น e ^ x และ e ^ 0 = 1 ตอนนี้เพียงแค่แทนที่ชุดข้างต้นเป็น (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / x = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) หากคุณต้องการให้ดัชนีเริ่มต้นที่ i = 0 ให้แทนที่ n = i + 1: = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) ตอนนี้แค่ประเมินสามคำแรกเพื่อรับ ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = -0.54 สำหรับฟังก์ชันขั้วโลก f (theta), dy / dx = (f '(theta) sintheta + f (theta) costheta) / (f' (theta) costheta-f (theta) sintheta) f (theta) theta) = theta-sec ^ 3theta + thetasin ^ 3theta f '(theta) = 1-3 (วินาที ^ 2theta) (d / dx [sectheta]) - บาป ^ 3theta + 3thetasin sintheta) f '(theta) = 1-3sec ^ 3thetatantheta-sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2thetacostheta f' ((5pi) / 3) = 1-3sec ^ 3 ((5pi) / 3) tan ((5pi) / 3) - sin ^ 3 ((5pi) / 3) +3 ((5pi) / 3) sin ^ 2 ((5pi) / 3) cos ((5pi) / 3) ~~ -9.98 f ((5pi) / 3) = ((5pi) / 3) -sec ^ 3 ((5pi) / 3) + ((5pi) / 3) บาป ^ 3 ((5pi) / 3) ~~ -6.16 dy / d อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 ถ้าเราเขียนสิ่งนี้เป็น: y = u ^ 5 เราสามารถใช้กฎลูกโซ่: dy / dx = (dy) / (du) * (du) / ( dx) (dy) / (du) = 5u ^ 4 (du) / (dx) = 2x dy / dx = (dy) / (du) * (du) / (dx) = 10xu ^ 4 วางกลับใน x ^ 2 + 1 ให้เรา: dy / dx = 10x (x ^ 2 + 1) ^ 4 อ่านเพิ่มเติม »

ดูด้านล่าง ถ้า: y = lnx <=> e ^ y = x การใช้คำนิยามนี้กับฟังก์ชั่นที่กำหนด: e ^ y = (sin (x + 3)) ^ 2 การแยกความแตกต่างโดยนัย: e ^ ydy / dx = 2 (sin (x + 3 )) * cos (x + 3) หารด้วย e ^ y dy / dx = (2 (sin (x + 3)) * cos (x + 3)) / e ^ y dy / dx = (2 (sin (x ( +3)) * cos (x + 3)) / (sin ^ 2 (x + 3)) การยกเลิกปัจจัยที่พบบ่อย: dy / dx = (2 (ยกเลิก (sin (x + 3))) * cos (x + 3 )) / (sin ^ ยกเลิก (2) (x + 3)) dy / dx = (2cos (x + 3)) / (sin (x + 3)) ตอนนี้เรามีอนุพันธ์และจะสามารถคำนวณ การไล่ระดับสีที่ x = pi / 3 การเสียบค่านี้: (2cos ((pi / 3) +3)) / (sin ((pi / 3) +3)) ~~ 1.568914137 นี่คือสมการโดยประมาณของเส้น: y = 15689 อ่านเพิ่มเติม »

Lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 f (x) = x ^ 4ln (x) [(x, f (x)), (1,0), (0.1, -2.30 * 10 ^ - 4), (0.01, -4.61 * 10 ^ -8), (0.001, -6.91 * 10 ^ -12)] เมื่อ x มีแนวโน้มที่ 0 จากด้านขวามือ f (x) อยู่ทางด้านลบเมื่อ x < 1 แต่ค่าเหล่านั้นจะใกล้เคียงกับ 0 เมื่อ x-> 0 lim_ (xto0 ^ +) x ^ 4ln (x) = 0 กราฟ {x ^ 4ln (x) [-0.05 1, -0.1, 0.01]} อ่านเพิ่มเติม »

ความชันของแทนเจนต์กับ y ที่ x = 1/3 คือ -8 y = x ^ 2 (3x + 1 / x ^ 3) = x ^ 2 (3x + x ^ (- 3)) dy / dx = x ^ 2 ( 3-3x ^ (- 4)) + 2x (3x + x ^ (- 3)) กฎผลิตภัณฑ์ = 3x ^ 2-3x ^ (- 2) + 6x ^ 2 + 2x ^ (- 2) = 9x ^ 2- x ^ (- 2) ความชัน (m) ของแทนเจนต์กับ y ที่ x = 1/3 คือ dy / dx ที่ x = 1/3 ดังนั้น: m = 9 * (1/3) ^ 2 - (1/3) ) ^ (- 2) m = 1-9 = 8 อ่านเพิ่มเติม »

ความชันคือ 0. Minima (พหูพจน์ของ 'ขั้นต่ำ') ของเส้นโค้งเรียบเกิดขึ้นที่จุดเปลี่ยนซึ่งโดยนิยามยังเป็นจุดคงที่ สิ่งเหล่านี้เรียกว่าเครื่องเขียนเนื่องจากที่จุดเหล่านี้ฟังก์ชันการไล่ระดับสีจะเท่ากับ 0 (ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่ "เคลื่อนที่" นั่นคือการเคลื่อนที่)หากฟังก์ชันไล่ระดับสีมีค่าเท่ากับ 0 ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้นก็เท่ากับ 0 ตัวอย่างที่ง่ายต่อการถ่ายภาพคือ y = x ^ 2 มีจุดเริ่มต้นน้อยที่สุดและสัมผัสกับแกน x ณ จุดนั้น (ซึ่งเป็นแนวนอนนั่นคือความชัน 0) นี่เป็นเพราะ dy / dx = 2x ในกรณีนี้และเมื่อ x = 0, dy / dx = 0 อ่านเพิ่มเติม »

E ^ a * (a / 2) * (1 - a) "คุณสามารถใช้ชุด Taylor และวางคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นในขีด จำกัด " "สำหรับ" x-> 0 " x ^ y = exp (y * ln (x)) => (1 + x) ^ y = exp (y * ln (1 + x)) "และ" ln (1 + x) = x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ... "และ" exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ... "ดังนั้น" exp (y * ln (1 + x)) = exp (y * (x - x ^ 2/2 + ... )) => (1 + x) ^ (a / x) = exp ((a / x) * ln (1 + x)) = exp ((a / x) * (x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ... )) = exp (a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ... ) => (1 + axe) ^ (1 / x) = exp ((1 / x) * ln (1 + axe)) = exp ((1 / x) * (axe - ( อ่านเพิ่มเติม »

ใช้สูตร: พื้นที่ = h / 2 (y_1 + y_n + 2 (y_2 + y_3 + ... + y_ (n-1))) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์: พื้นที่ = 4314/3145 ~ = 1.37 h คือความยาวขั้นตอนที่เรา ค้นหาความยาวขั้นตอนโดยใช้สูตรต่อไปนี้: h = (ba) / (n-1) a คือค่าต่ำสุดของ x และ b คือค่าสูงสุดของ x ในกรณีของเรา a = 0 และ b = 6 n คือจำนวนของแถบ ดังนั้น n = 4 => h = (6-0) / (4-1) = 2 ดังนั้นค่าของ x คือ 0,2,4,6 "NB:" เริ่มต้นจาก x = 0 เราเพิ่มความยาวของขั้นตอน h = 2 เพื่อให้ได้ค่าถัดไปของ x สูงถึง x = 6 เพื่อหา y_1 มากถึง y_n (หรือ y_4) เราเสียบค่าแต่ละค่าของ x เพื่อให้ได้ y ที่สอดคล้องกันตัวอย่างเช่น: เพื่อรับ y_1 เราเสียบ x = 0 ใน y = 1 / (1 + x ^ 2) => y_1 = y อ่านเพิ่มเติม »

คำตอบคือต่ำสุดในช่วงเวลานั้นคือ f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2 ซึ่งไม่ใช่ตัวเลือกจริงๆ แต่ (c) เป็นการประมาณที่ดี f (x) = e ^ x} - 2e ^ x f '(x) = - e ^ x} - 2 e ^ x อนุพันธ์นั้นเป็นลบอย่างชัดเจนทุกที่ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงตามช่วงเวลา ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ f (2) = e ^ 2} -2e ^ 2 ถ้าฉันเป็น stickler (ซึ่งฉัน) ฉันจะตอบไม่มีข้อใดข้อหนึ่งข้างต้นเพราะไม่มีวิธีใดที่ปริมาณยอดเยี่ยมสามารถเท่ากับหนึ่งในค่าที่สมเหตุสมผล แต่เรายอมจำนนต่อวัฒนธรรมการประมาณและออกเครื่องคิดเลขซึ่งบอกว่า f (2) ประมาณ -14.6428 ซึ่งเป็นตัวเลือก (c) อ่านเพิ่มเติม »

ความชันของเส้นตั้งฉากคือ 1/4 แต่อนุพันธ์ของเส้นโค้งคือ -1 / {2sqrt {x}} ซึ่งจะเป็นค่าลบเสมอดังนั้นค่าแทนเจนต์กับเส้นโค้งจึงไม่เคยตั้งฉากกับ y + 4x = 4 f (x) = 2 - x ^ {1/2} f '(x) = - 1/2 x ^ {- 1/2} = -1 / {2sqrt {x}} บรรทัดที่ให้คือ y = -4x + 4 มีความชัน -4 ดังนั้นฉากตั้งฉากก็มีความชันเป็นลบซึ่งกันและกัน 1/4 เราตั้งค่าอนุพันธ์เท่ากับนั้นและแก้ปัญหา: 1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2 ไม่มีจริง x ที่ตรงตามนั้นดังนั้นจึงไม่มีตำแหน่งบนเส้นโค้งที่แทนเจนต์ตั้งฉาก ถึง y + 4x = 4 อ่านเพิ่มเติม »

มันบรรจบกันอย่างแน่นอน ใช้การทดสอบเพื่อการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าเราใช้ค่าสัมบูรณ์ของคำเราจะได้อนุกรม 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... นี่คืออนุกรมเรขาคณิตของอัตราส่วนทั่วไป 1/4 ดังนั้นมันจึงมาบรรจบกัน ตั้งแต่ทั้งสอง | a_n | a_n ลู่เข้าหากันอย่างแน่นอน หวังว่านี่จะช่วยได้! อ่านเพิ่มเติม »

H = 1,000 / (2pix) - x สำหรับ 31a คุณต้องการสูตรสำหรับพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอก พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกจะเท่ากันกับพื้นผิววงกลมทั้งด้านบนและด้านล่างและพื้นที่ผิวโค้ง พื้นที่ผิวโค้งถือได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ถ้ามันจะถูกรีดออก) ความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้จะเป็นความสูงของทรงกระบอกและความกว้างของมันจะเป็นเส้นรอบวงของวงกลมที่ด้านบนหรือด้านล่าง เส้นรอบวงของวงกลมคือ 2pir ความสูงคือ h พื้นที่ผิวโค้ง = 2pirh พื้นที่ของวงกลมคือ pir ^ 2 พื้นที่ของวงกลมด้านบนและด้านล่าง: 2pir ^ 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือ 2pirh + 2pir ^ 2 หรือ 2pir (h + r) เราได้รับพื้นที่ผิวทั้งหมดของกระบอกสูบคือ 1,000 ซม. ^ 2 นี่หมายความว่า อ่านเพิ่มเติม »

Int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C int cos (x) / (sin ^ 2 (x) + sin (x)) "d" x แทน u = sin (x) และ "d" u = cos (x) "d" x สิ่งนี้จะให้ = int ("d" u) / (u ^ 2 + u) = int ("d" u) / (u (u + 1)) แยกเศษส่วนบางส่วนตั้งแต่ 1 / (u (u + 1 )) = 1 / u-1 / (u + 1): = int (1 / u-1 / (u + 1)) "d" u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u / (u + 1) | + C ทดแทนกลับ u = sin (x): = ln | sin (x) / (sin (x) +1) | + C อ่านเพิ่มเติม »

Int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C เนื่องจากง่ายต่อการ จัดการกับหนึ่ง x ภายใต้สแควร์รูทเราทำตาราง: x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx ตอนนี้เราต้องทำการแทนตรีโกณมิติ ฉันจะใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกตรีโกณมิติ (เพราะเซแคนต์อินทิกรัลมักไม่ค่อยดีเท่าไหร่) เราต้องการใช้เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้: cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) ในการทำสิ่งนี้เราต้องการ (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) เราสามารถแก้หา x เพื่อให้ได้สิ่งทดแทนที่เราต้องการ: x + 2 = 2cosh (theta) x = 2cos อ่านเพิ่มเติม »

ถ้า 0 <x <e ^ (- 15/56) ดังนั้น f จะเว้าลง; ถ้า x> e ^ (- 15/56) ดังนั้น f จะเว้าขึ้น; x = e ^ (- 15/56) เป็นจุดเปลี่ยน (ตก) เพื่อวิเคราะห์ความเว้าและจุดเปลี่ยนของฟังก์ชั่นที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง f เราสามารถศึกษาผลบวกของอนุพันธ์อันดับสอง ในความเป็นจริงถ้า x_0 เป็นจุดในโดเมนของ f ดังนั้น: ถ้า f '' (x_0)> 0 แล้ว f จะเว้าขึ้นในละแวกของ x_0; ถ้า f '' (x_0) <0 ดังนั้น f จะเว้าในย่าน x_0; ถ้า f '' (x_0) = 0 และเครื่องหมายของ f '' ที่อยู่ทางขวาเล็ก ๆ ที่เพียงพอของ x_0 อยู่ตรงข้ามกับสัญลักษณ์ของ f '' ที่อยู่ทางซ้ายมือเล็ก ๆ ของ x_0 ดังนั้น x = x_0 จุดโรคติดเชื้อของ f ในกรณีที อ่านเพิ่มเติม »

ฟังก์ชั่นจะเว้าขึ้นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกมันจะเว้าลงเมื่อมันเป็นลบและอาจมีจุดเปลี่ยนเมื่อมันเป็นศูนย์ y '= 18x ^ 2 + 54 y' '= 36x + 54 ดังนั้น: y' '> 0rArrx> -54 / 36rArrx> -3/2 ใน (-3 / 2, + oo) เว้าขึ้นใน (-oo, -3 / 2) เว้าลงใน x = -3 / 2 มีจุดผัน อ่านเพิ่มเติม »

X = y = sqrt (a) x * y = a => x * y - a = 0 f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "น้อยที่สุด" "เราสามารถทำงานร่วมกับตัวคูณ Lagrange L: "f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * ya)" อัตราผลตอบแทนที่ได้รับ: "{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(หลังจากคูณด้วย x"! = "0)" => L = - sqrt (x) / (2 * a) => sqrt อ่านเพิ่มเติม »

1/4 "คุณสามารถใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์ได้" cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - ... tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) ... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + ... => (x * cos ^ 2 (x) ) / (x + tan (3x)) = (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ... ) / (4x + 9 x ^ 3 + ... ) x-> 0 => "พลังที่สูงขึ้นหายไป "= (x - ... ) / (4x + ... ) = 1/4 อ่านเพิ่มเติม »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C เริ่มต้นโดยแยกตัวส่วน: 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) ตอนนี้เราสามารถทำเศษส่วนบางส่วน: 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x + 1) เราสามารถหา A โดยใช้วิธีการปกปิด: A = 1 / ((ข้อความ (////)) ( (-1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 ถัดไปเราสามารถคูณทั้งสองข้างด้วยตัวหาร LHS: 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) นี่ให้สมการต่อไปนี้: 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 C + 1/3 = 1-> C = 2/3 ซึ่งหมายความว่าเราสามาร อ่านเพิ่มเติม »

จุด (2, -3) ไม่ได้อยู่บนเส้นโค้งที่กำหนด ใส่พิกัด (2, -3) ลงในสมการที่เราได้รับ: LHS = 2 (16) (4) (81) +6 (8) +7 (9) 10368 +48 +63 = 10479 ! = 2703 ดังนั้นจุด (2, -3) จึงไม่ได้อยู่บนเส้นโค้งที่กำหนด อ่านเพิ่มเติม »

9 = e ^ (y ^ 2-y) / e ^ x + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2-y) * e ^ (- x) + y - xy 9 = e ^ (y ^ 2- yx) + y - xy แยกแยะด้วยความเคารพต่อ x อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังเป็นตัวเองคูณด้วยเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง โปรดจำไว้ว่าเมื่อใดก็ตามที่คุณแยกความแตกต่างของสิ่งที่มี y กฎลูกโซ่จะบอกถึงปัจจัยของ y ' 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy '-y'-1) + y' - (xy '+ y) 0 = e ^ (y ^ 2-yx) (2yy' -y'-1) + y '- xy'-y ทีนี้แก้หา y' นี่คือจุดเริ่มต้น: 0 = 2yy'e ^ (y ^ 2-yx) -y'e ^ (y ^ 2-yx) -e ^ (y ^ 2-yx) + y '- xy'-y รับเงื่อนไขทั้งหมด มี y 'ไปทางด้านซ้าย -2yy'e ^ (y ^ 2-y-x) + y'e ^ (y ^ 2-y-x) - y อ่านเพิ่มเติม »

เริ่มต้นด้วยการใช้คุณสมบัติการกระจาย ให้ y = sqrtx (x - 4) จากนั้น y = xsqrtx - 4sqrtx = x ^ (3/2) - 4x ^ (1/2) แยกความแตกต่างโดยใช้กฎกำลัง dy / dx = (3/2) x ^ (1/2) - 2x ^ (- 1/2) = (3/2) x ^ (1/2) - 2 / x ^ (1/2) = ( 3sqrtx / 2) - 2 / sqrtx รับตัวส่วนร่วมของ 2sqrtx แล้วคุณจะได้คำตอบ อ่านเพิ่มเติม »

Int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + CI = int e ^ x cos (x) "d" x เราจะ ใช้การรวมโดยส่วนต่าง ๆ ซึ่งระบุว่า int u "d" v = uv-int v "d" u ใช้การรวมตามส่วนต่าง ๆ ด้วย u = e ^ x, du = e ^ x "d" x, "d" v = cos (x) "d" x, และ v = sin (x): I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x ใช้การรวมโดยส่วนต่าง ๆ กับอินทิกรัลที่สองโดยมี u = e ^ x, "d" u = e ^ x "d" x, " d "v = sin (x) " d "x, และ v = -cos (x): I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) " d "x ทีนี้จำได้ว่าเรานิยาม I = อ่านเพิ่มเติม »

0 "คำถามนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจาก" 0.93969 "เป็นพหุนามของดีกรี 0 ซึ่งทำงาน" "เครื่องคำนวณคำนวณค่า cos (x) ผ่านอนุกรม" "ของ Taylor "ชุด Taylor ของ cos (x) คือ:" 1 - x ^ 2 / (2!) + x ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... "สิ่งที่คุณต้องรู้ คือมุมที่คุณเติมในชุดนี้ "" ต้องเป็นเรเดียนดังนั้น 20 ° = "pi / 9 = 0.349 ... " rad "ในการมีซีรี่ส์คอนเวอร์เจนซ์ที่รวดเร็ว | x | จะต้องมีขนาดเล็กกว่า 1," "โดยการเลือกขนาดเล็กกว่า 0.5 เท่า" "เราโชคดีอย่างนี้ในกรณีอื่นเราจะต้อง" "ใช้ตัวตนแบบ goniometric เพื่อทำให้ค่าเล็กลง" "เราต้อง อ่านเพิ่มเติม »

ดูด้านล่าง: ขั้นตอนแรกคือการหาอนุพันธ์แรกของ f f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x ดังนั้น: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 ค่านัยสำคัญของ 8 คือว่านี่คือการไล่ระดับสีของ f โดยที่ x = - 1 นี่ก็เป็นความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกราฟของ f ที่จุดนั้น ดังนั้นฟังก์ชั่นไลน์ของเราคือ y = 8x อย่างไรก็ตามเราต้องหาจุดตัดแกน y ด้วย แต่เพื่อทำสิ่งนี้เราต้องใช้พิกัด y ของจุดที่ x = -1 เสียบ x = -1 เข้ากับ f f (-1) = - 6- (1) = - 7 ดังนั้นจุดบนเส้นสัมผัสคือ (-1, -7) ตอนนี้โดยใช้สูตรการไล่ระดับสีเราสามารถหาสมการของเส้น: gradient = (Deltay ) / (Deltax) ดังนั้น: (y - (- 7)) / (x - (- 1)) = 8 y + 7 = 8x + 8 y = 8x + 1 อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = -1.5 ก่อนอื่นเราจะพบ d / dx ของแต่ละคำ d / dx [xy ^ 2] -d / dx [(1-xy) ^ 2] = d / dx [C] d / dx [x] y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 ( 1-xy) d / dx [1-xy] = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (d / dx [1] -d / dx [xy]) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- d / dx [x] y + d / dx [y] x) = 0 y ^ 2 + d / dx [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + d / dx [y] x) = 0 กฎลูกโซ่บอกเรา: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ 2 + dy / dx d / dy [y ^ 2] x-2 (1-xy) (- y + dy / dxd / dy [y] x) = 0 y ^ 2 + dy / dx 2yx-2 (1-xy) (- y + dy / dx x) = 0 dy / dx 2yx-2 (1-x) dy / dx x = -y ^ 2-2y (1-xy) dy / dx (2yx-2x (1-x)) = - y ^ 2-2y (1-xy) x dy / dx = - ( อ่านเพิ่มเติม »

"ดูคำอธิบาย" a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ 2) ^ n = ((1 + 6 / n + 9 / n ^) 2) ^ 2) ^ n = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n "โปรดทราบว่าคุณสามารถใช้ Euler limit ได้ง่ายขึ้นที่นี่:" lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 .... => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 .... "ดังนั้นลำดับจึงขยายใหญ่มาก แต่ไม่สิ้นสุด ใหญ่ดังนั้นจึงเข้าหากัน "" อ่านเพิ่มเติม »

"เปรียบเทียบกับ" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = exp (1) = e = 2.7182818 ... "แต่ละคำเท่ากับหรือเล็กกว่า" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (! มาบรรจบกัน." อ่านเพิ่มเติม »

ดูด้านล่างขั้นตอนแรกคือการหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f (x) = 2x ^ 4-e ^ (8x) f '(x) = 8x ^ 3-8e ^ (8x) f' '(x) = 24x ^ 2-64e ^ (8x) จากนั้นเราต้องหาค่าของ x โดยที่: f '' (x) = 0 (ฉันใช้เครื่องคิดเลขเพื่อแก้ปัญหานี้) x = -0.3706965 ดังนั้นที่ค่า x ที่กำหนดอนุพันธ์อันดับสองคือ 0 อย่างไรก็ตามเพื่อให้เป็นจุดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงจะต้องมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายรอบค่า x นี้ ดังนั้นเราสามารถเสียบค่าลงในฟังก์ชันและดูว่าเกิดอะไรขึ้น: f (-1) = 24-64e ^ (- 8) บวกแน่นอนเนื่องจาก 64e ^ (- 8) มีขนาดเล็กมาก f (1) = 24-64e ^ (8) ลบอย่างแน่นอนเนื่องจาก 64e ^ 8 นั้นใหญ่มาก ดังนั้นจึงมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายร อ่านเพิ่มเติม »

V = (2pi) / 15 อันดับแรกเราต้องการคะแนนที่ x และ x ^ 2 พบ x = x ^ 2 x ^ xx = 0 x (x-1) = 0 x = 0 หรือ 1 ดังนั้นขอบเขตของเราคือ 0 และ 1 เมื่อเรามีสองฟังก์ชันสำหรับปริมาตรเราจะใช้: V = piint_a ^ b (f (x) ^ 2-g (x) ^ 2) dx V = piint_0 ^ 1 (x ^ 2-x ^ 4) dx V = pi [x ^ 3/3-x ^ 5/5] _0 ^ 1 V = ปี่ (1 / 3-1 / 5) = (2pi) / 15 อ่านเพิ่มเติม »

Y '= (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y' = 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 ถ้า y = uvw โดยที่ u, v และ w เป็นฟังก์ชันทั้งหมดของ x ดังนั้น: y '= uvw' + uv'w + u'vw (สามารถพบได้โดยทำกฎลูกโซ่ที่มีสอง ฟังก์ชั่น substitued เป็นหนึ่งกล่าวคือการทำให้ uv = z) u = x + 5 u '= 1 v = 2x-3 v' = 2 w = 3x ^ 2 + 4 w '= 6x y' = (2x-3) (3x ^ 2 + 4) +2 (x + 5) (3x ^ 2 + 4) + 6x (2x-3) (x + 5) y '= 6x ^ 3 + 8x-9x ^ 2-12 + 6x ^ 3 + 8x + 30x ^ 2 + 40 + 12x ^ 3 + 60x ^ 2-18x ^ 2-90x y '= 24x ^ 3 + 63x ^ 2-74x + 28 อ่านเพิ่มเติม »

DY / DX = - (YX (x ^ 2 + Y ^ 2) ^ (- 1/2) -1-2y ^ -1) / (XY ^ -2- (x ^ 2 + Y ^ 2) ^ (1 / 2) + y ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (- 1/2)) เอาล่ะนี่มันยาวมาก ฉันจะกำหนดหมายเลขแต่ละขั้นตอนเพื่อให้ง่ายขึ้นและฉันก็ไม่ได้รวมขั้นตอนต่าง ๆ เพื่อให้คุณรู้ว่าเกิดอะไรขึ้น เริ่มต้นด้วย: 2xy ^ -1 = y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) -x ก่อนอื่นเราใช้ d / dx ของแต่ละเทอม: 2. d / dx [2xy ^ -1] = d / dx [y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 3. d / dx [2x] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + yd / dx [(x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2)] - d / dx [x] 4 2y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = d / dx [y] (x ^ 2 + y ^ 2) ^ (1/2) + (y (x ^ 2 + y ^ 2) ^ ( อ่านเพิ่มเติม »

Y = 11.2x-20.2 หรือ y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) เรามี: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^) x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11.2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13.4 13.4 13.4 = 11.2 (3) + cc = 13.4-11.2 (3) = - 20.2 y = 11.2x-20.2 อ่านเพิ่มเติม »

F '(x) = (5e ^ x + วินาที ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) สำหรับ f (x) = (5e ^ x + tanx) (x ^ 2-2x) เราพบ f '(x) โดยทำ: f' (x) = d / dx [5e ^ x + tanx] (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) d / dx [x ^ 2-2x] f '(x) = (5e ^ x + วินาที ^ 2x) (x ^ 2-2x) + (5e ^ x + tanx) (2x-2) อ่านเพิ่มเติม »

F (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} ให้เราดูรายละเอียดบางอย่าง f (x) = arctanx f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} โปรดจำไว้ว่าชุดกำลังทางเรขาคณิต 1 / {1-x} = sum_ { n = 0} ^ infty x ^ n โดยแทนที่ x ด้วย -x ^ 2, Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} ดังนั้น f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} โดยการรวม, f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx โดยใส่เครื่องหมายอินทิกรัลภายในการรวม, = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ nx ^ {2n} dx โดย Power Rule, = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + อ่านเพิ่มเติม »

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 เราแสวงหา: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x บาป t ^ 2 dt) / (บาป x ^ 2) ทั้งตัวเศษและตัวส่วน 2 คือ 0 เป็น x rarr 0 ดังนั้นขีด จำกัด L (ถ้ามี) เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน 0/0 ดังนั้นเราสามารถใช้กฎของL'Hôpitalเพื่อรับ: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin ( t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) ตอนนี้โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) และ, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) และอื่น ๆ : L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) อีกครั้งนี่ อ่านเพิ่มเติม »

: F '(x) = (sqrtsinx) (cosx) F (x) = int_0 ^ sinx sqrttdt เพราะ intsqrttdt = intt ^ (1/2) dt = t ^ (1/2 + 1) / (1/2 + 1) = 2 / 3t ^ (3/2) + c,:. F (x) = [2 / 3t ^ (3/2)] _ 0 ^ sinx: F (x) = 2 / 3sin ^ (3/2) x: F '(x) = 2/3 [{(sinx)} ^ (3/2)]' การใช้กฎลูกโซ่, F '(x) = 2/3 [3/2 (sinx) ^ (3 / 2- 1)] d / dx (sinx) = (sinx) ^ (1/2) (cosx): F '(x) = (sqrtsinx) (cosx) สนุกกับคณิตศาสตร์! อ่านเพิ่มเติม »

12 เราสามารถขยายลูกบาศก์ได้: (2 + h) ^ 3 = 8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3 เสียบเข้าไปใน lim_ (hrightarrow 0) (8 + 12h + 6h ^ 2 + h ^ 3-8) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12h + 6h ^ 2 + h ^ 3) / h = lim_ (hrightarrow 0) (12 + 6h + h ^ 2) = 12 อ่านเพิ่มเติม »

Frac {1} {2} ขีด จำกัด แสดงฟอร์มที่ไม่ได้กำหนด 0/0 ในกรณีนี้คุณอาจใช้ทฤษฎีบทเดอแอลโรงพยาบาลซึ่งระบุว่า Lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' (x)} อนุพันธ์ของตัวเศษคือ frac {1} {2sqrt (1 + h)} ในขณะที่อนุพันธ์ของตัวหารเป็นเพียง 1 ดังนั้น lim_ {x to 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x to 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)}} {1} = lim_ {x to 0} frac {1} {2sqrt ( 1 + h)} ดังนั้น frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} อ่านเพิ่มเติม »

เริ่มต้นด้วยการแยกตัวเศษ: = lim_ (x-> 2) (((x + 3) (x-2)) / (x-2)) เราจะเห็นว่าคำ (x - 2) จะถูกยกเลิก ดังนั้นข้อ จำกัด นี้จะเท่ากับ: = lim_ (x-> 2) (x + 3) ตอนนี้มันควรจะง่ายที่จะดูว่าขีด จำกัด ประเมินเป็น: = 5 ลองมาดูกราฟของฟังก์ชั่นนี้ เพื่อดูว่าคำตอบของเราเห็นด้วยหรือไม่: "หลุม" ที่ x = 2 เป็นเพราะคำ (x - 2) ในตัวส่วน เมื่อ x = 2 คำนี้กลายเป็น 0 และการหารด้วยศูนย์เกิดขึ้นส่งผลให้ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดที่ x = 2 อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นดังกล่าวมีการกำหนดชัดเจนทุกที่แม้จะเข้าใกล้ x = 2 มาก และเมื่อ x เข้าใกล้ 2 มาก y จะเข้าใกล้ 5 อย่างมากนี่เป็นการตรวจสอบสิ่งที่เราแสดงให้เห็นถึงพีชคณิต อ่านเพิ่มเติม »

= 3/5 คำอธิบาย, การใช้การค้นหาพีชคณิต, = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 5x + 4) / (x ^ 2 + 3x-4), ถ้าเราเสียบ x = -4, เราจะได้ รูปแบบ 0/0 = lim_ (x -> - 4) (x ^ 2 + 4x + x + 4) / (x ^ 2 + 4x-x-4) = lim_ (x -> - 4) (x (x + 4) +1 (x + 4)) / (x (x + 4) -1 (x + 4)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 4) (x + 1)) / ( x + 4) (x-1)) = lim_ (x -> - 4) ((x + 1)) / ((x-1)) = (- 3) / - 5 = 3/5 อ่านเพิ่มเติม »

ปัจจัยแรกคือตัวหาร ... (x ^ 3-64) / ((x-4) (x-4)) ตอนนี้แยกตัวคูณ ... ((x-4) (x ^ 2 + 4x + 16)) / ((x-4) (x-4)) ตัวหารและตัวหารหารด้วย x-4 ... (x ^ 2 + 4x + 16) / (x-4) แทนที่ x's ทั้งหมดด้วยขีด จำกัด ที่เข้าหา (4) ... ((4) ^ 2 +4 (4) +16) / ((4) -4) รวมคำศัพท์ ... 48/0 ข้อ จำกัด เข้าใกล้อนันต์เนื่องจากการหารด้วย 0 ไม่ได้กำหนด แต่การหารด้วย 0 ยังเข้าใกล้ ความไม่มีที่สิ้นสุด อ่านเพิ่มเติม »

มันลดลง เริ่มต้นด้วยการรับฟังก์ชั่น f ในฐานะฟังก์ชันอนุพันธ์, f 'อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f f (x) = - 4x ^ 3 + 4x ^ 2 + 2x-1 f '(x) = - 12x ^ 2 + 8x + 2 จากนั้นเสียบ x = 2 เข้ากับฟังก์ชั่น f '(2) = - 12 (4) +8 (2) +2 f' (2) = - 48 + 18 f´(2) = - 30 ดังนั้นเมื่อค่าของอนุพันธ์เป็นลบอัตราในทันที ของการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้เป็นลบ - ดังนั้นฟังก์ชันของ f จะลดลงในกรณีนี้ อ่านเพิ่มเติม »

F '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) ((1) / ((x + 4))). ((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / ((x ^ 2 + 4) (ln (x ^ 2 + 4))) f '(x) = (1 / (LN ((x + 4) / (LN (x ^ 2 + 4))))) (1 / ((x + 4) / (LN (x ^ 2 + 4)))). (( (1) (LN (x ^ 2 + 4)) - (x + 4) (1) / ((x ^ 2 + 4)) (2x)) / ((LN (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '(x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4)))))) (ln (x ^ 2 + 4) / ((x + 4)) ). ((ln (x ^ 2 + 4) - (2x ^ 2 + 4x) / ((x ^ 2 + 4))) / ((ln (x ^ 2 + 4))) ^ 2) f '( x) = (1 / (ln ((x + 4) / (ln (x ^ 2 + 4))))) (ยกเลิก (ln (x ^ 2 + 4)) / ((x + 4))) (((x ^ 2 + 4) (LN (x ^ 2 + 4)) - (2x ^ 2 + 4x)) / อ่านเพิ่มเติม »

ในกรณีที่คุณหมายถึง "ทดสอบการบรรจบกันของซีรีส์: sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((2n + 1)!)" คำตอบคือ: มันสี (สีน้ำเงิน) "ลู่" เพื่อหา เราสามารถใช้การทดสอบอัตราส่วนนั่นคือถ้า "U" _ "n" เป็นคำที่ n ^ "th" ของซีรี่ส์นี้ถ้าเราแสดงให้เห็นว่า lim_ (nrarr + oo) abs ("U" _ ("n" +1) / "U "_n) <1 หมายความว่าซีรีส์มาบรรจบกันที่อื่นถ้า lim_ (nrarr + oo) abs ((" U "_ (" n "+1)) /" U "_n)> 1 หมายความว่าซีรีส์นี้แตกต่าง ในกรณีของเรา "U" _n = 1 / ((2n + 1)!) "" และ "U" _ ("n" +1) = 1 / ([2 (n อ่านเพิ่มเติม »

Ln (abs (x / (x + 1))) + C ก่อนอื่นเราแยก 2: int1 / (x ^ 2 + x) dx แล้วแยกตัวส่วน: int1 / (x (x + 1)) dx เราต้อง แยกสิ่งนี้เป็นเศษส่วนบางส่วน: 1 = A (x + 1) + Bx การใช้ x = 0 ให้เรา: A = 1 จากนั้นใช้ x = -1 ให้เรา: 1 = -B เมื่อใช้สิ่งนี้เราจะได้รับ: int1 / x-1 / (x + 1) dx int1 / xdx-int / (x + 1) dx ln (abs (x)) - ln (abs (x + 1 _) + C ln (abs (x / (x + 1))) + C อ่านเพิ่มเติม »

"ดูคำอธิบาย" a = {dv} / dt => v = int a (t) dt = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t + C v (0) = v_0 = -3 => C = -3 => v = 16 t ^ 3 + t ^ 2 + 6 t - 3 v = {ds} / dt "(v = ความเร็ว) => s = int v (t) dt = 4 t ^ 4 + t ^ 3 / 3 + 3 t ^ 2 - 3 t + C s (0) = s_0 = 1 => C = 1 => s (t) = 4 t ^ 4 + t ^ 3/3 + 3 t ^ 2 - 3 t + 1 อ่านเพิ่มเติม »

อนุพันธ์คือ 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) - ดูด้านล่างสำหรับวิธีการทำ ถ้า f (x) = 2Sinx-Tan (x) สำหรับส่วนไซน์ของฟังก์ชันอนุพันธ์คือ: 2Cos (x) อย่างไรก็ตาม Tan (x) นั้นค่อนข้างยุ่งยากกว่าคุณต้องใช้กฎความฉลาด จำได้ว่า Tan (x) = (Sin (x) / Cos (x)) ดังนั้นเราสามารถใช้กฎหารหาร iff (x) = (Sin (x) / Cos (x)) จากนั้น f '(x) = (( Cos ^ 2 (x) - (- Sin ^ 2 (x))) / (Cos ^ 2 (x))) Sin ^ 2 (x) + Cos ^ 2 (x) = 1 f '(x) = 1 / (Cos ^ 2 (x)) ดังนั้นฟังก์ชันที่สมบูรณ์จะกลายเป็น f '(x) = 2Cos (x) - (1 / Cos ^ 2 (x)) หรือ f' (x) = 2Cos (x) -Sec ^ 2 ( x) อ่านเพิ่มเติม »

ในกรณีส่วนใหญ่มีฟังก์ชันสองชนิดที่มีเส้นกำกับแนวนอน ฟังก์ชันในรูปแบบเชาวน์ปัญญาที่มีตัวหารใหญ่กว่าตัวเศษเมื่อ x มีค่าเป็นบวกหรือลบมาก ตัวอย่าง) f (x) = {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} (อย่างที่คุณเห็นตัวเศษเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเติบโตช้ากว่าตัวส่วนซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลังสอง) lim_ {x ถึง pm infty} {2x + 3} / {x ^ 2 + 1} โดยการหารเศษและส่วนด้วย x ^ 2, = lim_ {x ถึง pm infty} {2 / x + 3 / x ^ 2} / { 1 + 1 / x ^ 2} = {0 + 0} / {1 + 0} = 0 ซึ่งหมายความว่า y = 0 เป็นเส้นกำกับแนวนอนของ f ฟังก์ชั่นในรูปแบบเชาวน์ปัญญาที่มีตัวเศษและตัวส่วนเปรียบเทียบในอัตราการเติบโต ตัวอย่าง) g (x) = {1 + 2x-3x ^ 5} / {2x ^ 5 + x ^ 4 + 3} (อย่างที่คุณเห็นตัวเศษแ อ่านเพิ่มเติม »

อนุพันธ์คือ 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x) อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดคือผลรวมของอนุพันธ์ของ x ^ (3/2) และ csc (x) โปรดทราบว่า sqrt (x) ^ 3 = x ^ (3/2) ตามกฎพลังงานอนุพันธ์ของอันแรกคือ: 3/2 xx x ^ (3/2 -1) = 3sqrt (x) / 2 อนุพันธ์ ของ csx (x) คือ -cot (x) csc (x) ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดคือ 3sqrt (x) / 2 - cot (x) csc (x) อ่านเพิ่มเติม »

Inte ^ (4t ^ 2-t) dt = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) -e ^ (33) / 23 Be f (x) = e ^ (4t ^ 2-t ) ฟังก์ชั่นของคุณ ในการรวมฟังก์ชั่นนี้คุณจะต้องมีแบบดั้งเดิม F (x) F (x) = (e ^ (4t ^ 2-t)) / (8t-1) + k กับ k ค่าคงที่ การรวมกันของ e ^ (4t ^ 2-t) บน [3; x] ถูกคำนวณดังนี้: inte ^ (4t ^ 2-t) dt = F (x) -F (3) = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x-1) + k - ((e ^ (4cdot3 ^ 2-3)) / (8cdot3-1) + k) = (e ^ (4x ^ 2-x)) / (8x -1) -e ^ (33) / 23 อ่านเพิ่มเติม »

Extrema สำหรับ y = sin (x) cos (x) คือ x = pi / 4 + npi / 2 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มสัมพัทธ์ Be f (x) ฟังก์ชั่นที่แสดงการแปรผันของ y ด้วย repsect เป็น x เป็น f '(x) อนุพันธ์ของ f (x) f '(a) คือความชันของเส้นโค้ง f (x) ที่ x = จุด เมื่อความชันเป็นบวกโค้งจะเพิ่มขึ้น เมื่อความชันเป็นลบเส้นโค้งจะลดลง เมื่อความชันเป็นโมฆะเส้นโค้งจะยังคงอยู่ที่ค่าเดิม เมื่อเส้นโค้งมาถึงค่าสุดขีดมันจะหยุดการเพิ่ม / ลดลงและเริ่มลด / เพิ่มขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่งความชันจะเปลี่ยนจากค่าบวกเป็นค่าลบหรือค่าลบไปเป็นค่าบวกผ่านค่าศูนย์ ดังนั้นหากคุณกำลังมองหา extrema ของฟังก์ชันคุณควรมองหาค่า Null ของอนุพันธ์ หมายเหตุกำหนดให้ส่ง มีสถานการณ์เมื่ออนุพันธ อ่านเพิ่มเติม »

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C งั้นเราเขียนนี่ก่อน: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 นอกจากนี้เรายังได้รับ: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1 ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) การใช้ x = -2 ทำให้เรา: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) จากนั้นใช้ x = -1 ให้เรา: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = CC = -1 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + อ่านเพิ่มเติม »

Dy / dx = ((e ^ (x-2y)) ^ 2-y) / (2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 + xy) เราสามารถเขียนสิ่งนี้เป็น: 2yx-y ^ 2 = (e ^ (x-2y)) ^ 2 ตอนนี้เรารับ d / dx ของแต่ละคำ: d / dx [2yx] -d / dx [y ^ 2] = d / dx [(e ^ (x-2y)) ^ 2 ] 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [e ^ (x-2y)] 2yd / dx [ x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) d / dx [x-2y] e ^ (x-2y) 2yd / dx [x] + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) e ^ (x-2y) (d / dx [x] -d / dx [2y]) 2y + xd / dx [2y] -d / dx [y ^ 2] = 2 (e ^ (x-2y)) ^ 2 (1-d / dx [2y]) โดยใช้กฎลูกโซ่ที่เราได้รับ: d / dx = dy / dx * d / dy 2y + dy / dxxd / dy [2y] -dy / dxd อ่านเพิ่มเติม »

หากกราฟมีระยะทางเป็นฟังก์ชันของเวลาความชันของเส้นสัมผัสกับฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะแสดงถึงความเร็วในทันที ณ จุดนั้น เพื่อให้ได้แนวคิดเกี่ยวกับความชันนี้เราต้องใช้ข้อ จำกัด ตัวอย่างเช่นสมมติว่าหนึ่งได้รับฟังก์ชั่นระยะทาง x = f (t) และหนึ่งต้องการที่จะหาความเร็วทันทีหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางที่จุด p_0 = (t_0, f (t_0)) มันช่วย ในการตรวจสอบจุดอื่นที่อยู่ใกล้เคียงก่อนอื่น p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) โดยที่ a คือค่าคงตัวเล็ก ๆ ความชันของเส้นตัดวงกลมตัดผ่านกราฟที่จุดเหล่านี้คือ: [f (t_0 + a) -f (t_0)] / a เมื่อ p_1 เข้าใกล้ p_0 (ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อการลดลงของเรา) ความแตกต่างด้านบนของเราจะเข้าหา ขีด จำกัด กำหนด L ที่นี่ซึ อ่านเพิ่มเติม »

คุณมักจะเห็น "ไม่ได้กำหนด" เมื่อหารด้วยศูนย์เพราะคุณจะแยกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ เป็นศูนย์พาร์ติชันได้อย่างไร กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณมีคุกกี้คุณรู้วิธีแบ่งมันออกเป็นสองส่วน --- แบ่งครึ่ง คุณรู้วิธีแบ่งมันออกเป็นส่วนหนึ่ง - คุณไม่ทำอะไรเลย คุณจะแบ่งมันออกเป็นส่วนใดได้อย่างไร มันไม่ได้กำหนด 1/0 = "undefined" คุณมีแนวโน้มที่จะเห็น "ไม่มีอยู่" เมื่อคุณพบจำนวนจินตภาพในบริบทของจำนวนจริงหรือเมื่อ จำกัด จำนวน ณ จุดที่คุณได้รับความแตกต่างสองด้านเช่น: lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / x = oo lim_ (x-> 0 ^ -) 1 / x = -oo ดังนั้น: lim_ (x-> 0) 1 / x => กราฟ "DNE" {1 / x [-10, 10, -5, 5]} นี่อาจเป็นเพรา อ่านเพิ่มเติม »

อนันต์คือคำที่เราใช้กับค่าซึ่งมากกว่าค่า จำกัด ใด ๆ ที่เราสามารถระบุได้ ตัวอย่างเช่น lim_ (xrarr0) 1 / abs (x) ไม่ว่าเราจะเลือกหมายเลขใด (เช่น 9,999,999,999) ก็สามารถแสดงให้เห็นว่าค่าของนิพจน์นี้มีขนาดใหญ่ขึ้น undefined หมายถึงค่าที่ไม่สามารถรับได้โดยใช้กฎมาตรฐานและไม่ได้กำหนดเป็นกรณีพิเศษที่มีค่าพิเศษ โดยทั่วไปสิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการดำเนินการมาตรฐานไม่สามารถนำไปใช้อย่างมีความหมาย ตัวอย่างเช่น 27/02 ไม่ได้ถูกกำหนด (เนื่องจากการหารถูกกำหนดให้เป็นอินเวอร์สของการคูณและไม่มีค่าที่เมื่อคูณด้วย 0 จะเท่ากับ 27) ไม่มีอยู่อาจมีการตีความที่เป็นไปได้สามประการ ค่าอาจไม่มีอยู่ใน "Universe of Discourse" ตัวอย่างเช่น sqrt ( อ่านเพิ่มเติม »

(d ^ 2y) / dx ^ 2 = ((2t-1) e ^ t) / (2t + 1) ^ 3, tne-1/2 อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้เป็น parametrivally เป็น, x = x (t), y = y (t), มอบให้โดย, dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt); dx / dtne0 ... (ast) ทีนี้ y = e ^ t rArr dy / dt = e ^ t, และ, x = t ^ 2 + t rArr dx / dt = 2t + 1 เพราะ, dx / dt = 0 rArr t = -1 / 2,:,, t ne-1/2 rArr dx / dt! = 0 :., โดย (ast), dy / dt = e ^ t / (2t + 1), tne-1/2 Therfore, (d ^ 2y) / dx ^ 2 = d / dx {dy / dx}, ....... "[Defn.]," = d / dx {e ^ t / (2t + 1)} สังเกตว่าที่นี่เราต้องการแตกต่างกัน WRT x สนุกของ t ดังนั้นเราต้องใช้กฎลูกโซ่และดังนั้นเราต้องแตกต่างกันก่อน สนุก. w. อ่านเพิ่มเติม »

1 / ((3 + 2x) ^ (1/2))> "สร้างความแตกต่างโดยใช้กฎลูกโซ่" สี (สีน้ำเงิน) "" ที่ได้รับ "y = f (g (x))" จากนั้น "dy / dx = f ' (g (x)) xxg '(x) larrcolor (สีน้ำเงิน) "กฎลูกโซ่" rArrd / dx ((3 + 2x) ^ (1/2)) = 1/2 (3 + 2x) ^ (- 1/2 ) xxd / dx (3 + 2x) = 1 (3 + 2x) ^ (- 1/2) = 1 / ((3 + 2x) ^ (1/2)) อ่านเพิ่มเติม »

เส้นกำกับแนวดิ่งจะเกิดขึ้นทุกครั้งที่ x = k + 1/2, kinZZ เส้นกำกับแนวดิ่งของฟังก์ชันแทนเจนต์และค่าของ x ที่ไม่ได้ถูกกำหนด เรารู้ว่า tan (theta) ไม่ได้ถูกกำหนดเมื่อใดก็ตามที่ theta = (k + 1/2) pi, kinZZ ดังนั้น tan (pix) จึงไม่ถูกกำหนดเมื่อใดก็ตามที่ pix = (k + 1/2) pi, kinZZ หรือ x = k + 1/2, kinZZ ดังนั้นเส้นกำกับแนวดิ่งคือ x = k + 1/2, kinZZ คุณสามารถมองเห็นได้ชัดเจนขึ้นในกราฟนี้: กราฟ {(y-tan (pix)) = 0 [-10, 10, -5, 5]} อ่านเพิ่มเติม »

โดยทั่วไปไม่มีการรับประกันการมีอยู่ของค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่แน่นอนของ f ถ้า f ต่อเนื่องในช่วงปิด [a, b] (นั่นคือ: ในช่วงปิดและขอบเขต) จากนั้นทฤษฎีบทค่าสุดขีดรับประกันการมีอยู่ของค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่แน่นอนของ f ในช่วงเวลา [a, b] . อ่านเพิ่มเติม »

"พื้นที่" = 4.5 จัดเรียงใหม่เพื่อรับ: x = y ^ 2 และ x = y + 2 เราต้องการจุดตัดกัน: y ^ 2 = y + 2 y ^ 2-y-2 = 0 (y + 1) (y -2) = 0 y = -1 หรือ y = 2 ขอบเขตของเราคือ -1 และ 2 "พื้นที่" = int _ (- 1) ^ 2y + 2dy-int _ (- 1) ^ 2y ^ 2dy = [y ^ 2/2 + 2y] _text (-1) ^ 2- [y ^ 3/3] _text (-1) ^ 2 = [(2 ^ 2/2 + 2 (2)) - - (- 1) ^ 2/2 + 2 (-1))] - [(2 ^ 3/3) - ((- 1) ^ 3/3)] = [6 + 3/2] - [8/3 + 1/3] = 15/2 -9/3 = 7.5-3 = 4.5 อ่านเพิ่มเติม »